Номер 111, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

111. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $BC$, $CC_1$ и $A_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма \( ABCA_1B_1C_1 \).

Все ребра равны 1.

Сечение проходит через середины ребер \( BC \), \( CC_1 \) и \( A_1C_1 \).

Перевод в СИ:

Длина ребра призмы \( a = 1 \) (единицы не указаны).

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение:

Изображение сечения

1. Обозначим середины заданных ребер:
Пусть \( K \) — середина ребра \( BC \).
Пусть \( L \) — середина ребра \( CC_1 \).
Пусть \( M \) — середина ребра \( A_1C_1 \).
Эти три точки \( K, L, M \) определяют плоскость сечения.

2. Построим известные линии сечения:
Соединим точки \( K \) и \( L \). Отрезок \( KL \) лежит в боковой грани \( BCC_1B_1 \).
Соединим точки \( L \) и \( M \). Отрезок \( LM \) лежит в боковой грани \( ACC_1A_1 \).

3. Для нахождения остальных вершин сечения, используем метод координат.
Разместим призму в декартовой системе координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной \( C \).
Тогда координаты вершин будут:
\( C = (0,0,0) \)
\( B = (1,0,0) \)
\( A = (1/2, \sqrt{3}/2, 0) \) (так как \( \triangle ABC \) правильный со стороной 1)
\( C_1 = (0,0,1) \)
\( B_1 = (1,0,1) \)
\( A_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1) \)

Координаты заданных середин ребер:
\( K = (1/2, 0, 0) \) (середина \( BC \))
\( L = (0, 0, 1/2) \) (середина \( CC_1 \))
\( M = (1/4, \sqrt{3}/4, 1) \) (середина \( A_1C_1 \))

4. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки \( K, L, M \).
Вектор \( \vec{LK} = K - L = (1/2, 0, -1/2) \).
Вектор \( \vec{LM} = M - L = (1/4, \sqrt{3}/4, 1/2) \).
Вектор нормали к плоскости \( \vec{n} = \vec{LK} \times \vec{LM} \):
$ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 0 & -1/2 \\ 1/4 & \sqrt{3}/4 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1/2 - (-1/2) \cdot \sqrt{3}/4) - \mathbf{j}(1/2 \cdot 1/2 - (-1/2) \cdot 1/4) + \mathbf{k}(1/2 \cdot \sqrt{3}/4 - 0 \cdot 1/4) $
$ = \mathbf{i}(\sqrt{3}/8) - \mathbf{j}(1/4 + 1/8) + \mathbf{k}(\sqrt{3}/8) $
$ = (\sqrt{3}/8, -3/8, \sqrt{3}/8) $
Для упрощения, умножим вектор нормали на 8, получим \( \vec{n}' = (\sqrt{3}, -3, \sqrt{3}) \).
Уравнение плоскости имеет вид \( \sqrt{3}x - 3y + \sqrt{3}z + D = 0 \).
Подставим координаты точки \( L(0,0,1/2) \):
\( \sqrt{3}(0) - 3(0) + \sqrt{3}(1/2) + D = 0 \Rightarrow D = -\sqrt{3}/2 \).
Уравнение плоскости сечения: \( \sqrt{3}x - 3y + \sqrt{3}z - \sqrt{3}/2 = 0 \).
Разделив на \( \sqrt{3} \), получим: \( x - \sqrt{3}y + z - 1/2 = 0 \).

5. Найдем точки пересечения плоскости с остальными ребрами призмы:
* С ребром \( AB \) (лежащим в плоскости \( z=0 \)):
Подставим \( z=0 \) в уравнение плоскости: \( x - \sqrt{3}y - 1/2 = 0 \).
Уравнение прямой \( AB \) (соединяющей \( A(1/2, \sqrt{3}/2, 0) \) и \( B(1,0,0) \)) в плоскости \( z=0 \) имеет вид \( y = -\sqrt{3}(x-1) \).
Подставим \( y \) в уравнение следа плоскости: \( x - \sqrt{3}(-\sqrt{3}(x-1)) - 1/2 = 0 \).
\( x + 3(x-1) - 1/2 = 0 \Rightarrow 4x - 3 - 1/2 = 0 \Rightarrow 4x = 7/2 \Rightarrow x = 7/8 \).
Тогда \( y = -\sqrt{3}(7/8 - 1) = -\sqrt{3}(-1/8) = \sqrt{3}/8 \).
Точка пересечения \( P = (7/8, \sqrt{3}/8, 0) \). Проверка показывает, что \( P \) лежит на отрезке \( AB \) (так как \( 1/2 < 7/8 < 1 \) и \( 0 < \sqrt{3}/8 < \sqrt{3}/2 \)).
Это означает, что \( BP = 1/4 \). То есть \( P \) делит \( AB \) в отношении \( AP:PB = 3:1 \).
* С ребром \( A_1B_1 \) (лежащим в плоскости \( z=1 \)):
Подставим \( z=1 \) в уравнение плоскости: \( x - \sqrt{3}y + 1 - 1/2 = 0 \Rightarrow x - \sqrt{3}y + 1/2 = 0 \).
Уравнение прямой \( A_1B_1 \) (соединяющей \( A_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1) \) и \( B_1(1,0,1) \)) в плоскости \( z=1 \) имеет вид \( y = -\sqrt{3}(x-1) \).
Подставим \( y \): \( x - \sqrt{3}(-\sqrt{3}(x-1)) + 1/2 = 0 \Rightarrow x + 3(x-1) + 1/2 = 0 \Rightarrow 4x - 3 + 1/2 = 0 \Rightarrow 4x = 5/2 \Rightarrow x = 5/8 \).
Тогда \( y = -\sqrt{3}(5/8 - 1) = -\sqrt{3}(-3/8) = 3\sqrt{3}/8 \).
Точка пересечения \( Q = (5/8, 3\sqrt{3}/8, 1) \). Проверка показывает, что \( Q \) лежит на отрезке \( A_1B_1 \) (так как \( 1/2 < 5/8 < 1 \) и \( 0 < 3\sqrt{3}/8 < \sqrt{3}/2 \)).
Это означает, что \( A_1Q = 1/4 \). То есть \( Q \) делит \( A_1B_1 \) в отношении \( A_1Q:QB_1 = 1:3 \).
* Пересечения с ребрами \( AA_1 \) и \( BB_1 \) отсутствуют, так как соответствующие значения параметра \( t \) выходят за пределы отрезка \( [0,1] \).

6. Таким образом, сечение является пятиугольником \( KPQML \), где вершины:
\( K(1/2,0,0) \) — середина \( BC \)
\( P(7/8, \sqrt{3}/8, 0) \) — на ребре \( AB \)
\( Q(5/8, 3\sqrt{3}/8, 1) \) — на ребре \( A_1B_1 \)
\( M(1/4, \sqrt{3}/4, 1) \) — середина \( A_1C_1 \)
\( L(0,0,1/2) \) — середина \( CC_1 \)

Сечение \( KPQML \) можно изобразить, последовательно соединяя найденные точки. Отрезок \( KP \) лежит в нижнем основании, \( QM \) в верхнем основании. Поскольку основания параллельны, то \( KP \parallel QM \).

Площадь сечения

Площадь пятиугольника \( KPQML \) можно найти, разбив его на параллелограмм и треугольник.
Проверим параллельность и длины отрезков \( KP \) и \( QM \):
Вектор \( \vec{KP} = P - K = (7/8 - 1/2, \sqrt{3}/8 - 0, 0 - 0) = (3/8, \sqrt{3}/8, 0) \).
Длина \( KP = \sqrt{(3/8)^2 + (\sqrt{3}/8)^2} = \sqrt{9/64 + 3/64} = \sqrt{12/64} = \sqrt{3/16} = \frac{\sqrt{3}}{4} \).
Вектор \( \vec{MQ} = Q - M = (5/8 - 1/4, 3\sqrt{3}/8 - \sqrt{3}/4, 1 - 1) = (3/8, \sqrt{3}/8, 0) \).
Длина \( MQ = \sqrt{(3/8)^2 + (\sqrt{3}/8)^2} = \sqrt{9/64 + 3/64} = \sqrt{12/64} = \sqrt{3/16} = \frac{\sqrt{3}}{4} \).
Таким образом, \( \vec{KP} = \vec{MQ} \), следовательно, четырехугольник \( KPQM \) является параллелограммом.

1. Площадь параллелограмма \( KPQM \):
Площадь параллелограмма, образованного векторами \( \vec{KP} \) и \( \vec{PQ} \), равна модулю их векторного произведения.
\( \vec{KP} = (3/8, \sqrt{3}/8, 0) \).
\( \vec{PQ} = Q - P = (5/8 - 7/8, 3\sqrt{3}/8 - \sqrt{3}/8, 1 - 0) = (-2/8, 2\sqrt{3}/8, 1) = (-1/4, \sqrt{3}/4, 1) \).
$ \vec{KP} \times \vec{PQ} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3/8 & \sqrt{3}/8 & 0 \\ -1/4 & \sqrt{3}/4 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\sqrt{3}/8 \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}/4) - \mathbf{j}(3/8 \cdot 1 - 0 \cdot (-1/4)) + \mathbf{k}(3/8 \cdot \sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/8 \cdot (-1/4)) $
$ = \mathbf{i}(\sqrt{3}/8) - \mathbf{j}(3/8) + \mathbf{k}(3\sqrt{3}/32 + \sqrt{3}/32) $
$ = (\sqrt{3}/8, -3/8, 4\sqrt{3}/32) = (\sqrt{3}/8, -3/8, \sqrt{3}/8) $
\( S_{KPQM} = \sqrt{(\sqrt{3}/8)^2 + (-3/8)^2 + (\sqrt{3}/8)^2} = \sqrt{3/64 + 9/64 + 3/64} = \sqrt{15/64} = \frac{\sqrt{15}}{8} \).

2. Площадь треугольника \( KML \):
Вершины \( K(1/2,0,0) \), \( M(1/4, \sqrt{3}/4, 1) \), \( L(0,0,1/2) \).
Векторы \( \vec{LK} = K - L = (1/2, 0, -1/2) \) и \( \vec{LM} = M - L = (1/4, \sqrt{3}/4, 1/2) \).
Площадь \( S_{KML} = 1/2 |\vec{LK} \times \vec{LM}| \).
Векторное произведение \( \vec{LK} \times \vec{LM} \) было найдено ранее как \( (\sqrt{3}/8, -3/8, \sqrt{3}/8) \).
Его модуль равен \( \sqrt{15}/8 \).
Следовательно, \( S_{KML} = 1/2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{\sqrt{15}}{16} \).

3. Общая площадь сечения:
Площадь пятиугольника \( KPQML \) равна сумме площади параллелограмма \( KPQM \) и площади треугольника \( KML \).
\( S = S_{KPQM} + S_{KML} = \frac{\sqrt{15}}{8} + \frac{\sqrt{15}}{16} = \frac{2\sqrt{15} + \sqrt{15}}{16} = \frac{3\sqrt{15}}{16} \).

Ответ: \( \frac{3\sqrt{15}}{16} \)