Номер 116, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

116. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $C, F$ и $E_1$. Найдите его площадь.

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все рёбра призмы равны 1.

Длина ребра основания призмы: $a = 1$
Высота призмы: $h = 1$

1. Изобразить сечение, проходящее через вершины $C$, $F$ и $E_1$.
2. Площадь сечения.

1. Изображение сечения:
Сечение, проходящее через три точки $C$, $F$ и $E_1$, является треугольником $CFE_1$, так как эти точки не лежат на одной прямой.
Для изображения сечения необходимо выполнить следующие шаги:
a) Начертить правильную шестиугольную призму $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ с основаниями $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
b) Соединить вершины $C$ и $F$ на нижнем основании. Отрезок $CF$ будет диагональю шестиугольника $ABCDEF$.
c) Соединить вершины $F$ (нижнего основания) и $E_1$ (верхнего основания). Отрезок $FE_1$ будет диагональю боковой грани $FEE_1F_1$.
d) Соединить вершины $C$ (нижнего основания) и $E_1$ (верхнего основания). Отрезок $CE_1$ соединяет вершину нижнего основания с вершиной верхнего основания.
Таким образом, образуется треугольник $CFE_1$, который и является искомым сечением.

2. Нахождение площади сечения:
Для вычисления площади треугольника $CFE_1$ определим длины его сторон. Из условия задачи все рёбра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания шестиугольника $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Длина стороны $CF$:
Вершины $C$ и $F$ принадлежат нижнему основанию $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике с вершинами, расположенными в порядке $A, B, C, D, E, F$ против часовой стрелки, отрезок $CF$ является большой диагональю, проходящей через центр шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна $2a$.
Следовательно, $CF = 2 \cdot 1 = 2$.

Длина стороны $FE_1$:
Отрезок $FE_1$ является диагональю прямоугольной боковой грани $FEE_1F_1$. Сторона $FE$ является ребром основания и равна $a=1$. Сторона $EE_1$ является боковым ребром призмы (высотой) и равна $h=1$.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $FEE_1$:
$FE_1^2 = FE^2 + EE_1^2 = a^2 + h^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.
$FE_1 = \sqrt{2}$.

Длина стороны $CE_1$:
Отрезок $CE_1$ соединяет вершину $C$ нижнего основания с вершиной $E_1$ верхнего основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CEE_1$, где $E$ является проекцией вершины $E_1$ на плоскость нижнего основания. Катет $EE_1$ - это высота призмы, $EE_1 = h = 1$.
Катет $CE$ - это диагональ нижнего основания. В правильном шестиугольнике отрезок $CE$ соединяет вершины, разделённые одной вершиной ($D$). Длина такой диагонали (короткой диагонали) равна $a\sqrt{3}$.
Следовательно, $CE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $CEE_1$:
$CE_1^2 = CE^2 + EE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.
$CE_1 = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, мы получили треугольник $CFE_1$ со сторонами: $CF=2$, $FE_1=\sqrt{2}$, $CE_1=2$.
Так как $CF = CE_1 = 2$, треугольник $CFE_1$ является равнобедренным с основанием $FE_1 = \sqrt{2}$.
Для вычисления площади равнобедренного треугольника, проведём высоту $CK$ из вершины $C$ к основанию $FE_1$. Высота $CK$ делит основание $FE_1$ пополам, поэтому $K$ является серединой $FE_1$.
$FK = FE_1 / 2 = \sqrt{2} / 2$.
В прямоугольном треугольнике $CKF$ (или $CKE_1$) по теореме Пифагора:
$CK^2 = CF^2 - FK^2 = 2^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 4 - \frac{2}{4} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.
$CK = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.
Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
$S = \frac{1}{2} \cdot FE_1 \cdot CK = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{2 \cdot 14} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{28} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot 7} = \frac{1}{4} \cdot 2\sqrt{7} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Сечением является треугольник $CFE_1$. Его площадь равна $\frac{\sqrt{7}}{2}$.