Номер 122, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

122. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы

$ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее

через вершины $C, D_1$ и $F$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны 1.

Перевод в СИ

Длина стороны основания $a = 1$.
Высота призмы $h = 1$.

Найти:

Площадь сечения, проходящего через вершины $C, D_1, F$.

Решение

Сечение, проходящее через три вершины $C$, $D_1$, и $F$, образует треугольник $CFD_1$.
Для его построения необходимо соединить вершины $C$ и $F$ на нижнем основании, а затем соединить каждую из этих вершин с вершиной $D_1$ на верхнем основании. Для нахождения площади этого треугольника необходимо определить длины его сторон: $CF$, $CD_1$, $FD_1$.

1. Длина стороны $CF$. Вершины $C$ и $F$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. $CF$ является главной диагональю правильного шестиугольника. Длина главной диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$.
Так как $a=1$, то $CF = 2 \times 1 = 2$.

2. Длина стороны $CD_1$. Вершина $C$ лежит в нижнем основании, а вершина $D_1$ — в верхнем. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDD_1$, где $D$ является проекцией $D_1$ на нижнее основание. Катет $CD$ является стороной правильного шестиугольника основания, поэтому $CD = a = 1$. Катет $DD_1$ является высотой призмы, $DD_1 = h = 1$. По теореме Пифагора:
$CD_1 = \sqrt{CD^2 + DD_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $FD_1$. Вершина $F$ лежит в нижнем основании, а вершина $D_1$ — в верхнем. Рассмотрим прямоугольный треугольник $FDD_1$, где $D$ является проекцией $D_1$ на нижнее основание. Катет $FD$ является малой диагональю правильного шестиугольника основания (соединяет вершины $F$ и $D$, между которыми одна вершина $E$). Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.
Так как $a=1$, то $FD = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$. Катет $DD_1$ является высотой призмы, $DD_1 = h = 1$. По теореме Пифагора:
$FD_1 = \sqrt{FD^2 + DD_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, треугольник $CFD_1$ имеет стороны $CF=2$, $CD_1=\sqrt{2}$, $FD_1=2$. Этот треугольник является равнобедренным с основанием $CD_1=\sqrt{2}$ и равными сторонами $CF=FD_1=2$.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти, проведя высоту к основанию. Пусть $M$ — середина основания $CD_1$. Тогда высота $FM$ перпендикулярна $CD_1$. В прямоугольном треугольнике $FMC$:
$CM = \frac{CD_1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
По теореме Пифагора:
$FM^2 + CM^2 = CF^2$
$FM^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2^2$
$FM^2 + \frac{2}{4} = 4$
$FM^2 + \frac{1}{2} = 4$
$FM^2 = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$
$FM = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} \times \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.
$S_{CFD_1} = \frac{1}{2} \times CD_1 \times FM = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{14}}{2}$
$S_{CFD_1} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{14}}{4} = \frac{\sqrt{28}}{4} = \frac{2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{7}}{2}$.