Номер 103, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

103. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AC$, $BC$ и $AA_1$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Все ребра равны $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AC$, $BC$ и $AA_1$.

Данные в системе СИ: $a = 1$ (единица длины).

Найти:

1. Описать сечение.

2. Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Пусть $M$ - середина ребра $AC$, $N$ - середина ребра $BC$, $P$ - середина ребра $AA_1$.

Точки $M$ и $N$ лежат в основании $ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, $MN \parallel AB$ и $MN = \frac{1}{2}AB$. Так как все ребра призмы равны $1$, то $AB = 1$. Значит, $MN = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Секущая плоскость проходит через точки $P$, $M$, $N$. Поскольку $MN \parallel AB$, и точка $P$ лежит на ребре $AA_1$, которое параллельно ребру $BB_1$, то секущая плоскость пересечет боковую грань $AA_1B_1B$ по отрезку, параллельному $MN$ (и, следовательно, параллельному $AB$). Пусть этот отрезок соединяет точку $P$ с точкой $Q$ на ребре $BB_1$.

Рассмотрим прямоугольник $AA_1B_1B$. Точка $P$ - середина $AA_1$. Так как $PQ \parallel AB$, то $PQ$ является средней линией прямоугольника $AA_1B_1B$ по высоте, проходящей через середины $AA_1$ и $BB_1$. Отсюда следует, что точка $Q$ - это середина ребра $BB_1$. Длина отрезка $PQ = AB = 1$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $PMNQ$. Поскольку $MN \parallel AB$ и $PQ \parallel AB$, то $MN \parallel PQ$. Следовательно, четырехугольник $PMNQ$ является трапецией с основаниями $MN$ и $PQ$.

Найдем длины боковых сторон трапеции $PM$ и $QN$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1C$. В нем $AC = 1$ и $AA_1 = 1$. Точка $P$ - середина $AA_1$, значит $AP = AA_1/2 = 1/2$. Точка $M$ - середина $AC$, значит $AM = AC/2 = 1/2$. Угол $\angle A$ в основании $ABC$ равен $60^\circ$. Однако, для вычисления длины $PM$, мы должны использовать проекции или координаты.

Рассмотрим координаты вершин призмы (для удобства вычислений):

$A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $C = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

$A_1 = (0,0,1)$, $B_1 = (1,0,1)$, $C_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Точки сечения:

$M = (\frac{0+1/2}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1/4, \sqrt{3}/4, 0)$.

$N = (\frac{1+1/2}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3/4, \sqrt{3}/4, 0)$.

$P = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0,0,1/2)$.

$Q = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1,0,1/2)$ (середина $BB_1$).

Длина отрезка $PM$: $PM = \sqrt{(1/4 - 0)^2 + (\sqrt{3}/4 - 0)^2 + (0 - 1/2)^2} = \sqrt{1/16 + 3/16 + 1/4} = \sqrt{4/16 + 4/16} = \sqrt{8/16} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Длина отрезка $QN$: $QN = \sqrt{(3/4 - 1)^2 + (\sqrt{3}/4 - 0)^2 + (0 - 1/2)^2} = \sqrt{(-1/4)^2 + (\sqrt{3}/4)^2 + (-1/2)^2} = \sqrt{1/16 + 3/16 + 1/4} = \sqrt{4/16 + 4/16} = \sqrt{8/16} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как $PM = QN = \frac{\sqrt{2}}{2}$, трапеция $PMNQ$ является равнобедренной.

Ответ: Сечение представляет собой равнобедренную трапецию $PMNQ$, где $P$ - середина $AA_1$, $M$ - середина $AC$, $N$ - середина $BC$, $Q$ - середина $BB_1$.

Найдите его площадь

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}(b_1 + b_2)h$, где $b_1$ и $b_2$ - длины оснований, а $h$ - высота трапеции.

Основания трапеции: $PQ = 1$ и $MN = 1/2$.

Для нахождения высоты $h$, опустим перпендикуляры из вершин $M$ и $N$ на большее основание $PQ$. Пусть $M_h$ и $N_h$ - основания этих перпендикуляров на $PQ$.

В равнобедренной трапеции $PMNQ$, длина отрезка $PM_h = \frac{PQ - MN}{2} = \frac{1 - 1/2}{2} = \frac{1/2}{2} = 1/4$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $PM$, ее проекцией $PM_h$ на основание и высотой $h$. По теореме Пифагора:

$h^2 = PM^2 - PM_h^2$

$h^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2$

$h^2 = \frac{2}{4} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{8}{16} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{7}{16}$

$h = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{1}{2}(PQ + MN)h = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S = \frac{3\sqrt{7}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{7}}{16}$.