Номер 98, страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

98. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A_1, C_1$ и середину ребра $AB$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны $1$.

Сечение проходит через вершины $A_1$, $C_1$ и середину ребра $AB$ (обозначим ее $M$).

Найти:

Площадь сечения $S_{A_1MC_1}$.

Решение:

Сечение представляет собой треугольник $A_1MC_1$. Для нахождения его площади, сначала определим длины сторон этого треугольника.

1. Длина стороны $A_1M$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AM$, где прямой угол находится в вершине $A$.

Длина ребра $AA_1 = 1$.

Точка $M$ является серединой ребра $AB$, поэтому $AM = AB/2 = 1/2$.

По теореме Пифагора:

$A_1M^2 = AA_1^2 + AM^2$

$A_1M^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

$A_1M = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

2. Длина стороны $A_1C_1$

Сторона $A_1C_1$ является ребром верхнего основания призмы $A_1B_1C_1$. Так как призма правильная, ее основания являются равносторонними треугольниками, и все ребра призмы равны $1$.

Следовательно, $A_1C_1 = 1$.

3. Длина стороны $MC_1$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MCC_1$, где прямой угол находится в вершине $C$.

Длина ребра $CC_1 = 1$.

Для нахождения длины $MC$, рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ (нижнее основание). $M$ - середина $AB$. $CM$ является медианой (и высотой) в равностороннем треугольнике $ABC$.

Длина медианы (высоты) в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $h = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $a=1$, поэтому $CM = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

По теореме Пифагора для треугольника $MCC_1$:

$MC_1^2 = MC^2 + CC_1^2$

$MC_1^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 1^2 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$

$MC_1 = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Таким образом, стороны треугольника $A_1MC_1$ имеют длины: $A_1M = \frac{\sqrt{5}}{2}$, $A_1C_1 = 1$, $MC_1 = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Для нахождения площади треугольника в пространстве удобно использовать векторное произведение.

Представим вершины в декартовой системе координат. Пусть $A=(0,0,0)$.

Тогда $A_1=(0,0,1)$ (так как $AA_1=1$).

Для нижнего основания $ABC$ со стороной $1$: $B=(1,0,0)$. $M=(1/2,0,0)$.

Вершина $C$ находится на расстоянии $\frac{\sqrt{3}}{2}$ от середины $AB$ по оси Y. $C = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вершина $C_1$ находится над $C$ на высоте $1$. $C_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Векторы, образующие две стороны треугольника $A_1MC_1$ (например, из вершины $A_1$):

$\vec{A_1M} = M - A_1 = \left(\frac{1}{2}-0, 0-0, 0-1\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, -1\right)$

$\vec{A_1C_1} = C_1 - A_1 = \left(\frac{1}{2}-0, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-1\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

$S_{A_1MC_1} = \frac{1}{2} |\vec{A_1M} \times \vec{A_1C_1}|$

Вычислим векторное произведение:

$\vec{A_1M} \times \vec{A_1C_1} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 0 & -1 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \end{pmatrix}$

$ = \mathbf{i}((0)(0) - (-1)(\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j}((\frac{1}{2})(0) - (-1)(\frac{1}{2})) + \mathbf{k}((\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (0)(\frac{1}{2}))$

$ = \mathbf{i}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \mathbf{j}\left(\frac{1}{2}\right) + \mathbf{k}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$

Модуль этого вектора:

$|\vec{A_1M} \times \vec{A_1C_1}| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}$

$ = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16}}$

$ = \sqrt{1 + \frac{3}{16}}$

$ = \sqrt{\frac{16+3}{16}} = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$

Теперь найдем площадь треугольника:

$S_{A_1MC_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{\sqrt{19}}{8}$

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{19}}{8}$.