Номер 97, страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

97. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A_1$, $B_1$ и середину ребра $AC$. Найдите его площадь.

Дано:

Призма: правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Ребра: все ребра равны $1$. То есть, $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Сечение: проходит через вершины $A_1$, $B_1$ и середину ребра $AC$. Обозначим середину ребра $AC$ как $M$.

Перевод в СИ:

Все длины заданы в условных единицах (число $1$), поэтому нет необходимости в численном переводе в систему СИ.

Найти:

1. Изобразить сечение (описать его).

2. Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Пусть правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ имеет основание $ABC$ и верхнее основание $A_1B_1C_1$. Боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ перпендикулярны основаниям. Длины всех ребер равны $1$.
Точки, через которые проходит сечение:
— Вершина $A_1$ (принадлежит верхнему основанию $A_1B_1C_1$ и боковому ребру $AA_1$).
— Вершина $B_1$ (принадлежит верхнему основанию $A_1B_1C_1$ и боковому ребру $BB_1$).
— Середина ребра $AC$. Обозначим эту точку $M$. Точка $M$ принадлежит нижнему основанию $ABC$.
Поскольку точки $A_1$ и $B_1$ лежат в одной плоскости (плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$), отрезок $A_1B_1$ является одной из сторон сечения.
Поскольку точки $A_1$ и $M$ лежат в одной плоскости (плоскости боковой грани $AA_1C_1C$), отрезок $A_1M$ является одной из сторон сечения.
Поскольку точки $B_1$ и $M$ лежат в пространстве, отрезок $B_1M$ является третьей стороной сечения.
Таким образом, сечение является треугольником $A_1B_1M$.
Этот треугольник пересекает призму, соединяя две вершины верхнего основания с серединой одной из сторон нижнего основания.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $A_1B_1M$, где $M$ — середина ребра $AC$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади треугольника $A_1B_1M$ вычислим длины его сторон. Длина всех ребер призмы $a = 1$.

1. Длина стороны $A_1B_1$: Отрезок $A_1B_1$ является стороной верхнего основания $A_1B_1C_1$. Поскольку призма правильная, ее основания — правильные треугольники. Длина стороны верхнего основания равна длине всех ребер призмы, то есть $1$.
$|A_1B_1| = 1$.

2. Длина стороны $A_1M$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1M$. Боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, поэтому оно перпендикулярно любому отрезку в этой плоскости, проходящему через $A$, в том числе $AM$.
Длина $AA_1 = 1$.
$M$ — середина ребра $AC$. Длина ребра $AC = 1$, поэтому $AM = AC/2 = 1/2$.
По теореме Пифагора для $\triangle AA_1M$:
$|A_1M|^2 = |AA_1|^2 + |AM|^2$
$|A_1M|^2 = 1^2 + (1/2)^2 = 1 + 1/4 = 5/4$.
$|A_1M| = \sqrt{5}/2$.

3. Длина стороны $B_1M$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $BB_1M$. Боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, поэтому оно перпендикулярно отрезку $BM$.
Длина $BB_1 = 1$.
Длину отрезка $BM$ найдем из правильного треугольника $ABC$ со стороной $1$. $BM$ является медианой, а также высотой в этом треугольнике.
Длина медианы (высоты) в правильном треугольнике со стороной $a$ равна $h = a\sqrt{3}/2$.
Для $\triangle ABC$ со стороной $1$: $|BM| = 1 \cdot \sqrt{3}/2 = \sqrt{3}/2$.
Теперь по теореме Пифагора для $\triangle BB_1M$:
$|B_1M|^2 = |BB_1|^2 + |BM|^2$
$|B_1M|^2 = 1^2 + (\sqrt{3}/2)^2 = 1 + 3/4 = 7/4$.
$|B_1M| = \sqrt{7}/2$.

Таким образом, стороны треугольника $A_1B_1M$ равны $1$, $\sqrt{5}/2$, $\sqrt{7}/2$.Для нахождения площади треугольника $A_1B_1M$ воспользуемся методом координат и векторным произведением.
Разместим призму в декартовой системе координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.
Поскольку $AC=1$ и $M$ — середина $AC$, пусть $C=(1,0,0)$. Тогда $M=(1/2,0,0)$.
Вершина $B$ правильного треугольника $ABC$ со стороной $1$ будет иметь координаты $B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
Так как высота призмы равна $1$, координаты соответствующих вершин верхнего основания будут:
$A_1=(0,0,1)$
$B_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Векторы, образующие две стороны треугольника $A_1B_1M$ из общей вершины $M$:
$\vec{MA_1} = A_1 - M = (0 - 1/2, 0 - 0, 1 - 0) = (-1/2, 0, 1)$.
$\vec{MB_1} = B_1 - M = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (0, \sqrt{3}/2, 1)$.

Площадь треугольника $S$ равна половине модуля векторного произведения этих векторов:
$S = \frac{1}{2} |\vec{MA_1} \times \vec{MB_1}|$.

Вычислим векторное произведение:
$\vec{MA_1} \times \vec{MB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(-1/2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(-1/2 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot 0)$
$= -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{1}{2}\mathbf{j} - \frac{\sqrt{3}}{4}\mathbf{k}$
$= \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$.

Найдем модуль этого вектора:
$|\vec{MA_1} \times \vec{MB_1}| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}$
$= \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16}}$
$= \sqrt{1 + \frac{3}{16}}$
$= \sqrt{\frac{16+3}{16}}$
$= \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $A_1B_1M$:
$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{\sqrt{19}}{8}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{19}}{8}$.