Номер 61, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

61. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $C_1$ и середины ребер $AB, AD$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина ребра куба $a=1$. Сечение проходит через вершину $C_1$ и середины ребер $AB$ и $AD$.

Перевод в СИ: Ребро куба $a=1$ (единица длины).

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение:

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $C_1$ и середины ребер $AB, AD$.

Для удобства введем систему координат с началом в вершине $A(0,0,0)$. Пусть ребро куба $a=1$. Тогда координаты вершин куба: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Обозначим середину ребра $AB$ как $M_1$. Координаты $M_1((0+1)/2, (0+0)/2, (0+0)/2) = (0.5, 0, 0)$.

Обозначим середину ребра $AD$ как $M_2$. Координаты $M_2((0+0)/2, (0+1)/2, (0+0)/2) = (0, 0.5, 0)$.

Третья заданная точка сечения — вершина $C_1(1,1,1)$.

Построение сечения:

1. На нижней грани $ABCD$ отметьте точки $M_1$ (середину $AB$) и $M_2$ (середину $AD$). Соедините их отрезком $M_1M_2$. Этот отрезок является частью сечения.
2. Соедините точку $C_1$ с точками $M_1$ и $M_2$ отрезками $C_1M_1$ и $C_1M_2$. Эти отрезки также являются частью сечения.
3. Для нахождения оставшихся вершин сечения, необходимо определить точки пересечения плоскости сечения с другими ребрами куба.
4. Рассмотрим ребро $BB_1$. Оно лежит в плоскости $x=1, y=0$. Найдем точку $P_B$ пересечения плоскости сечения с ребром $BB_1$.
5. Рассмотрим ребро $DD_1$. Оно лежит в плоскости $x=0, y=1$. Найдем точку $P_D$ пересечения плоскости сечения с ребром $DD_1$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M_1(0.5,0,0)$, $M_2(0,0.5,0)$ и $C_1(1,1,1)$.

Вектор $\vec{M_1M_2} = (0 - 0.5, 0.5 - 0, 0 - 0) = (-0.5, 0.5, 0)$.

Вектор $\vec{M_1C_1} = (1 - 0.5, 1 - 0, 1 - 0) = (0.5, 1, 1)$.

Нормальный вектор плоскости $\vec{n}$ найдем как векторное произведение $\vec{M_1M_2} \times \vec{M_1C_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -0.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(-0.5 \cdot 1 - 0 \cdot 0.5) + \mathbf{k}(-0.5 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0.5) = 0.5\mathbf{i} + 0.5\mathbf{j} - 0.75\mathbf{k}$.

Для удобства умножим компоненты нормального вектора на 4: $\vec{n} = (2, 2, -3)$.

Уравнение плоскости имеет вид $2x + 2y - 3z + D = 0$. Подставим координаты точки $M_1(0.5, 0, 0)$:

$2(0.5) + 2(0) - 3(0) + D = 0 \Rightarrow 1 + D = 0 \Rightarrow D = -1$.

Уравнение плоскости сечения: $2x + 2y - 3z - 1 = 0$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• С ребром $BB_1$: $x=1, y=0$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1) + 2(0) - 3z - 1 = 0 \Rightarrow 2 - 3z - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 3z = 0 \Rightarrow 3z = 1 \Rightarrow z = 1/3$. Точка $P_B(1, 0, 1/3)$. Этот отрезок $BP_B = 1/3$ лежит на ребре $BB_1$ (т.к. $0 \le 1/3 \le 1$).
• С ребром $DD_1$: $x=0, y=1$. Подставим в уравнение плоскости: $2(0) + 2(1) - 3z - 1 = 0 \Rightarrow 2 - 3z - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 3z = 0 \Rightarrow 3z = 1 \Rightarrow z = 1/3$. Точка $P_D(0, 1, 1/3)$. Этот отрезок $DP_D = 1/3$ лежит на ребре $DD_1$ (т.к. $0 \le 1/3 \le 1$).

Таким образом, вершины сечения: $M_1(0.5,0,0)$, $P_B(1,0,1/3)$, $C_1(1,1,1)$, $P_D(0,1,1/3)$, $M_2(0,0.5,0)$.

Соединив эти точки последовательно, получаем пятиугольник $M_1P_BC_1P_DM_2$.

Ответ: Сечение является пятиугольником $M_1P_BC_1P_DM_2$, где $M_1$ — середина $AB$, $M_2$ — середина $AD$, $P_B$ — точка на $BB_1$ на расстоянии $1/3$ от $B$, $P_D$ — точка на $DD_1$ на расстоянии $1/3$ от $D$, и $C_1$ — вершина куба.

Найдите его площадь.

Площадь многоугольника в 3D пространстве можно найти, спроецировав его на одну из координатных плоскостей, вычислив площадь проекции, а затем разделив ее на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Воспользуемся проекцией на плоскость $xy$. Координаты вершин проекции:

$M_1'(0.5,0)$

$P_B'(1,0)$

$C_1'(1,1)$

$P_D'(0,1)$

$M_2'(0,0.5)$

Площадь проекции $S_{xy}$ можно найти как площадь квадрата со стороной 1 (вершины $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$) минус площадь отсеченного треугольника с вершинами $(0,0)$, $(0.5,0)$ и $(0,0.5)$.

Площадь квадрата: $1 \times 1 = 1$.

Площадь отсеченного треугольника: $1/2 \times \text{основание} \times \text{высота} = 1/2 \times 0.5 \times 0.5 = 1/2 \times 0.25 = 0.125$.

Площадь проекции $S_{xy} = 1 - 0.125 = 0.875 = 7/8$.

Нормальный вектор плоскости сечения $\vec{n} = (2, 2, -3)$. Модуль нормального вектора: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+4+9} = \sqrt{17}$.

Вектор нормали к плоскости $xy$ это $\vec{k} = (0,0,1)$.

Косинус угла $\theta$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$: $\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| |\vec{k}|} = \frac{|2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + (-3) \cdot 1|}{\sqrt{17} \cdot 1} = \frac{|-3|}{\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.

Площадь сечения $S$ связана с площадью проекции $S_{xy}$ формулой $S = \frac{S_{xy}}{\cos \theta}$.

$S = \frac{7/8}{3/\sqrt{17}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{7\sqrt{17}}{24}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{7\sqrt{17}}{24}$ квадратных единиц.