Номер 60, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

60. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $B_1$ и середины ребер $AD, CD$. Найдите его площадь.

61. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1B_1C_1D_1$, проходящее

Дано:
Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$
Длина ребра куба $a = 1$
Сечение проходит через:

• вершину $B_1$
• середину ребра $AD$ (обозначим $M$)
• середину ребра $CD$ (обозначим $N$)

Перевод в СИ:
Длина ребра куба $a = 1$ м (единичный куб, предполагается, что единица длины).

Найти:
1. Изобразить сечение (описать его построение и вид).
2. Площадь сечения.

Решение:
1. Изображение сечения:
Примем вершину $A$ за начало координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба: $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$
$A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$
Длина ребра куба $a=1$.
Найдем координаты точек, через которые проходит сечение:

• Вершина $B_1$: $(1,0,1)$.
• Середина ребра $AD$: $M$. Координаты $A=(0,0,0)$, $D=(0,1,0)$. Значит, $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 0.5, 0)$.
• Середина ребра $CD$: $N$. Координаты $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$. Значит, $N = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.5, 1, 0)$.

Таким образом, три точки, определяющие сечение, это $B_1(1,0,1)$, $M(0, 0.5, 0)$, $N(0.5, 1, 0)$.
Построим сечение, находя точки пересечения плоскости $B_1MN$ с ребрами куба.
Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.
Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{MB_1} = B_1 - M = (1-0, 0-0.5, 1-0) = (1, -0.5, 1)$
$\vec{MN} = N - M = (0.5-0, 1-0.5, 0-0) = (0.5, 0.5, 0)$
Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{MB_1} \times \vec{MN}$: $ \vec{n} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -0.5 & 1 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf{i}(-0.5 \cdot 0 - 1 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 0.5) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.5 - (-0.5) \cdot 0.5) $
$= \mathbf{i}(-0.5) - \mathbf{j}(-0.5) + \mathbf{k}(0.5 + 0.25) = (-0.5, 0.5, 0.75)$.
Для упрощения умножим компоненты нормали на 4: $\vec{n}_{simplified} = (-2, 2, 3)$.
Уравнение плоскости: $-2x + 2y + 3z + D = 0$.
Подставим координаты точки $M(0, 0.5, 0)$: $-2(0) + 2(0.5) + 3(0) + D = 0 \Rightarrow 1 + D = 0 \Rightarrow D = -1$.
Уравнение плоскости сечения: $-2x + 2y + 3z - 1 = 0$, или $2x - 2y - 3z + 1 = 0$. Найдем точки пересечения плоскости с ребрами куба:

• Пересечение с плоскостью $z=0$ (основание $ABCD$): $2x - 2y + 1 = 0$.
  • С ребром $AD$ ($x=0$): $-2y + 1 = 0 \Rightarrow y = 0.5$. Точка $M(0, 0.5, 0)$.
  • С ребром $CD$ ($y=1$): $2x - 2(1) + 1 = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$. Точка $N(0.5, 1, 0)$.
• Пересечение с плоскостью $x=0$ (грань $ADD_1A_1$): $-2y - 3z + 1 = 0$.
  • С ребром $AD$ ($z=0$): $-2y + 1 = 0 \Rightarrow y = 0.5$. Точка $M(0, 0.5, 0)$.
  • С ребром $AA_1$ ($y=0$): $-3z + 1 = 0 \Rightarrow z = 1/3$. Точка $P(0, 0, 1/3)$.
• Пересечение с плоскостью $x=1$ (грань $BCC_1B_1$): $2(1) - 2y - 3z + 1 = 0 \Rightarrow 3 - 2y - 3z = 0$.
  • С ребром $BB_1$ ($y=0$): $3 - 3z = 0 \Rightarrow z = 1$. Точка $B_1(1, 0, 1)$.
  • С ребром $CC_1$ ($y=1$): $3 - 2(1) - 3z = 0 \Rightarrow 1 - 3z = 0 \Rightarrow z = 1/3$. Точка $Q(1, 1, 1/3)$.
• Пересечение с плоскостью $y=1$ (грань $CDD_1C_1$): $2x - 2(1) - 3z + 1 = 0 \Rightarrow 2x - 3z - 1 = 0$.
  • С ребром $CD$ ($z=0$): $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$. Точка $N(0.5, 1, 0)$.
  • С ребром $CC_1$ ($x=1$): $2(1) - 3z - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 3z = 0 \Rightarrow z = 1/3$. Точка $Q(1, 1, 1/3)$.
• Пересечение с плоскостью $y=0$ (грань $ABB_1A_1$): $2x - 3z + 1 = 0$.
  • С ребром $AA_1$ ($x=0$): $-3z + 1 = 0 \Rightarrow z = 1/3$. Точка $P(0, 0, 1/3)$.
  • С ребром $BB_1$ ($x=1$): $2(1) - 3z + 1 = 0 \Rightarrow 3 - 3z = 0 \Rightarrow z = 1$. Точка $B_1(1, 0, 1)$.

Таким образом, сечение является пятиугольником $MNQ B_1 P$ с вершинами: $M(0, 0.5, 0)$
$N(0.5, 1, 0)$
$Q(1, 1, 1/3)$
$B_1(1, 0, 1)$
$P(0, 0, 1/3)$
Сечение пересекает ребра $AD$, $CD$, $CC_1$, $BB_1$, $AA_1$. 2. Нахождение площади сечения:
Площадь плоского многоугольника в трехмерном пространстве можно найти, проецируя его на одну из координатных плоскостей, находя площадь проекции и используя косинус угла между плоскостью сечения и координатной плоскостью.
Вектор нормали к плоскости сечения $\vec{n} = (-2, 2, 3)$.
Модуль вектора нормали $|\vec{n}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{4+4+9} = \sqrt{17}$.
Проектируем пятиугольник $MNQ B_1 P$ на плоскость $XY$ ($z=0$). Координаты вершин проекции: $M'(0, 0.5)$
$N'(0.5, 1)$
$Q'(1, 1)$
$B_1'(1, 0)$
$P'(0, 0)$
Этот пятиугольник $P'M'N'Q'B_1'$ можно представить как единичный квадрат $P'(0,0)B_1'(1,0)Q'(1,1)D'(0,1)$ минус треугольник $D'M'N'$.
Единичный квадрат имеет площадь $1 \times 1 = 1$.
Координаты вершины $D'$ (соответствующей $D$ в основании) в плоскости $XY$ - $(0,1)$.
Треугольник $D'M'N'$ имеет вершины $D'(0,1)$, $M'(0,0.5)$, $N'(0.5,1)$. Это прямоугольный треугольник с катетами $D'M' = |1 - 0.5| = 0.5$ и $D'N' = |0.5 - 0| = 0.5$.
Площадь треугольника $D'M'N'$ равна $S_{\triangle D'M'N'} = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot 0.5 = \frac{1}{2} \cdot 0.25 = 0.125$.
Площадь проекции сечения на плоскость $XY$: $S_{proj, XY} = 1 - 0.125 = 0.875$.
Косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью $XY$ равен $\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| |\vec{k}|}$, где $\vec{k}=(0,0,1)$ - вектор нормали к плоскости $XY$.
$\vec{n} \cdot \vec{k} = (-2)(0) + (2)(0) + (3)(1) = 3$.
$|\vec{k}| = 1$.
$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{17}}$.
Площадь сечения $S_{сечения} = \frac{S_{proj, XY}}{\cos \theta} = \frac{0.875}{3/\sqrt{17}} = 0.875 \cdot \frac{\sqrt{17}}{3}$.
Запишем $0.875$ как дробь: $0.875 = \frac{875}{1000} = \frac{7 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{7}{8}$.
$S_{сечения} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{7\sqrt{17}}{24}$.

Ответ:
Сечение представляет собой пятиугольник $MNQ B_1 P$, где $M$ - середина $AD$, $N$ - середина $CD$, $Q$ - точка на $CC_1$ такая, что $CQ = \frac{1}{3}CC_1$, $P$ - точка на $AA_1$ такая, что $AP = \frac{1}{3}AA_1$, и $B_1$ - вершина куба. Площадь сечения равна $\frac{7\sqrt{17}}{24}$.