Номер 59, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

59. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $D_1$ и середины ребер $AB$, $BC$. Найдите его площадь.

Дано:
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Длина ребра куба: $a = 1$.
Сечение проходит через вершину $D_1$.
Сечение проходит через середину ребра $AB$ (точка $M$).
Сечение проходит через середину ребра $BC$ (точка $N$).

Найти:
Изобразить сечение.
Площадь сечения.

Перевод в СИ:
Поскольку куб единичный, длина его ребра $a=1$. Единицы измерения не указаны, поэтому все расчеты будут безразмерными.

Решение:

Построение сечения:
Для построения и вычисления площади сечения введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ куба имеет координаты $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин будут: $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$. Поскольку куб единичный, $a=1$. Координаты заданных точек:

Вершина $D_1$: $D_1(0,1,1)$.
Середина ребра $AB$: $M(1/2,0,0)$.
Середина ребра $BC$: $N(1,1/2,0)$.

1. Соединим точки $M$ и $N$, лежащие в одной грани $ABCD$ (нижнее основание куба). Получим отрезок $MN$. 2. Для нахождения других точек сечения продлим прямую $MN$ до пересечения с продолжениями ребер основания. Прямая $MN$ в плоскости $z=0$ (плоскость $ABCD$) проходит через $M(1/2,0)$ и $N(1,1/2)$. Уравнение прямой $MN$: $y - 0 = \frac{1/2 - 0}{1 - 1/2}(x - 1/2)$, то есть $y = \frac{1/2}{1/2}(x - 1/2)$, или $y = x - 1/2$. a. Продлим $MN$ до пересечения с продолжением ребра $AD$ (ось Y, т.е. $x=0$). Подставив $x=0$ в уравнение прямой, получим $y = -1/2$. Точка пересечения $K(0, -1/2, 0)$. b. Продлим $MN$ до пересечения с продолжением ребра $CD$ (прямая $y=1$, т.е. $y=a$). Подставив $y=1$ в уравнение прямой, получим $1 = x - 1/2$, откуда $x = 3/2$. Точка пересечения $L(3/2, 1, 0)$. 3. Плоскость сечения определяется точками $D_1, K, L$. 4. Соединим $D_1$ с $K$. Прямая $D_1K$ лежит в плоскости $x=0$ (плоскость $ADD_1A_1$). Координаты $D_1(0,1,1)$ и $K(0,-1/2,0)$. Уравнение прямой $D_1K$ в плоскости $x=0$: $\frac{z-0}{1-0} = \frac{y-(-1/2)}{1-(-1/2)}$, т.е. $z = \frac{y+1/2}{3/2}$, или $y = \frac{3}{2}z - \frac{1}{2}$. Найдем точку пересечения этой прямой с ребром $AA_1$. Ребро $AA_1$ лежит на оси Z, т.е. $x=0, y=0$. Подставим $y=0$ в уравнение: $0 = \frac{3}{2}z - \frac{1}{2}$, откуда $\frac{3}{2}z = \frac{1}{2}$, $z = 1/3$. Таким образом, точка $P_A(0,0,1/3)$ лежит на ребре $AA_1$. 5. Соединим $D_1$ с $L$. Прямая $D_1L$ лежит в плоскости $y=1$ (плоскость $CDD_1C_1$). Координаты $D_1(0,1,1)$ и $L(3/2,1,0)$. Уравнение прямой $D_1L$ в плоскости $y=1$: $\frac{z-0}{1-0} = \frac{x-3/2}{0-3/2}$, т.е. $z = \frac{x-3/2}{-3/2}$, или $x = -\frac{3}{2}z + \frac{3}{2}$. Найдем точку пересечения этой прямой с ребром $CC_1$. Ребро $CC_1$ имеет координаты $x=1, y=1$. Подставим $x=1$ в уравнение: $1 = -\frac{3}{2}z + \frac{3}{2}$, откуда $\frac{3}{2}z = \frac{1}{2}$, $z = 1/3$. Таким образом, точка $P_C(1,1,1/3)$ лежит на ребре $CC_1$. 6. Сечение является пятиугольником $D_1P_AMNP_C$. Вершины сечения: $D_1(0,1,1)$, $P_A(0,0,1/3)$, $M(1/2,0,0)$, $N(1,1/2,0)$, $P_C(1,1,1/3)$.

Площадь сечения:
Площадь плоского сечения можно найти как отношение площади его ортогональной проекции на одну из координатных плоскостей к косинусу угла между плоскостью сечения и плоскостью проекции. Выберем плоскость $ABCD$ (плоскость $z=0$) в качестве плоскости проекции.

1.Площадь проекции:
Проекция вершин сечения $D_1P_AMNP_C$ на плоскость $z=0$ даст следующие точки: $D_1(0,1,1) \to D(0,1,0)$
$P_A(0,0,1/3) \to A(0,0,0)$
$M(1/2,0,0) \to M(1/2,0,0)$
$N(1,1/2,0) \to N(1,1/2,0)$
$P_C(1,1,1/3) \to C(1,1,0)$
Таким образом, проекция сечения на плоскость $ABCD$ является пятиугольником $DAMNC$. Площадь пятиугольника $DAMNC$ можно найти как площадь квадрата $ABCD$ за вычетом площади треугольника $BMN$. Площадь квадрата $ABCD$: $S_{ABCD} = a^2 = 1^2 = 1$. Точка $M$ - середина $AB$, $N$ - середина $BC$. Значит, $BM = a/2 = 1/2$ и $BN = a/2 = 1/2$. Треугольник $BMN$ является прямоугольным с катетами $BM$ и $BN$. Площадь треугольника $BMN$: $S_{BMN} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot BN = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$. Площадь проекции: $S_{пр} = S_{DAMNC} = S_{ABCD} - S_{BMN} = 1 - 1/8 = 7/8$.

2.Косинус угла между плоскостями:
Найдем вектор нормали к плоскости сечения $D_1MN$. Используем векторы $\vec{D_1M}$ и $\vec{D_1N}$. $\vec{D_1M} = M - D_1 = (1/2-0, 0-1, 0-1) = (1/2, -1, -1)$. $\vec{D_1N} = N - D_1 = (1-0, 1/2-1, 0-1) = (1, -1/2, -1)$. Вектор нормали $\vec{n} = \vec{D_1M} \times \vec{D_1N}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -1 & -1 \\ 1 & -1/2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) - (-1)(-1/2)) - \mathbf{j}((1/2)(-1) - (-1)(1)) + \mathbf{k}((1/2)(-1/2) - (-1)(1))$ $\vec{n} = \mathbf{i}(1 - 1/2) - \mathbf{j}(-1/2 + 1) + \mathbf{k}(-1/4 + 1)$ $\vec{n} = (1/2, -1/2, 3/4)$ Для удобства можно взять вектор, параллельный $\vec{n}$, например, умножив на 4: $\vec{n'} = (2, -2, 3)$. Вектор нормали к плоскости $ABCD$ (плоскость $z=0$) равен $\vec{k} = (0,0,1)$. Косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью $ABCD$ вычисляется по формуле: $\cos \gamma = \frac{|\vec{n'} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n'}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(2)(0) + (-2)(0) + (3)(1)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 3^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}}$ $\cos \gamma = \frac{|3|}{\sqrt{4 + 4 + 9} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{17}}$

3.Площадь сечения:
Площадь сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле $S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos \gamma}$. $S_{сеч} = \frac{7/8}{3/\sqrt{17}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{7\sqrt{17}}{24}$

Ответ: Сечение является пятиугольником $D_1 P_A M N P_C$, где $M$ - середина ребра $AB$, $N$ - середина ребра $BC$, $P_A$ - точка на ребре $AA_1$ такая, что $AP_A = 1/3$ от $AA_1$, и $P_C$ - точка на ребре $CC_1$ такая, что $CP_C = 1/3$ от $CC_1$. Площадь сечения равна $\frac{7\sqrt{17}}{24}$.