Номер 66, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

66. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AD, AB, CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сечение проходит через середины ребер $AD$, $AB$, $CC_1$.

Сторона куба $a=1$.

Найти:

1. Изобразить сечение.
2. Площадь сечения.

Решение:

Для решения задачи введем систему координат. Пусть вершина $A$ куба находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты других вершин: $B=(1,0,0)$, $D=(0,1,0)$, $A_1=(0,0,1)$, $C=(1,1,0)$, $B_1=(1,0,1)$, $D_1=(0,1,1)$, $C_1=(1,1,1)$.

Найдем координаты заданных точек:

• Середина ребра $AD$ ($M$): $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 0.5, 0)$.
• Середина ребра $AB$ ($N$): $N = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.5, 0, 0)$.
• Середина ребра $CC_1$ ($K$): $K = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1, 1, 0.5)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M(0, 0.5, 0)$, $N(0.5, 0, 0)$ и $K(1, 1, 0.5)$. Общее уравнение плоскости: $Ax+By+Cz=D$.

Подставим координаты точек:

• Для $M(0, 0.5, 0)$: $A(0) + B(0.5) + C(0) = D \Rightarrow 0.5B = D$.
• Для $N(0.5, 0, 0)$: $A(0.5) + B(0) + C(0) = D \Rightarrow 0.5A = D$.
• Для $K(1, 1, 0.5)$: $A(1) + B(1) + C(0.5) = D \Rightarrow A+B+0.5C=D$.

Пусть $D=1$. Тогда из первых двух уравнений получаем $A=2$ и $B=2$.

Подставим $A=2, B=2, D=1$ в третье уравнение: $2+2+0.5C=1 \Rightarrow 4+0.5C=1 \Rightarrow 0.5C=-3 \Rightarrow C=-6$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $2x+2y-6z=1$.

Найдем остальные точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Пересечение с ребром $BB_1$ ($x=1, y=0$):$2(1)+2(0)-6z=1 \Rightarrow 2-6z=1 \Rightarrow 6z=1 \Rightarrow z=1/6$.Эта точка $L$ имеет координаты $(1, 0, 1/6)$. Она лежит на ребре $BB_1$, так как $0 \le 1/6 \le 1$.
• Пересечение с ребром $DD_1$ ($x=0, y=1$):$2(0)+2(1)-6z=1 \Rightarrow 2-6z=1 \Rightarrow 6z=1 \Rightarrow z=1/6$.Эта точка $J$ имеет координаты $(0, 1, 1/6)$. Она лежит на ребре $DD_1$, так как $0 \le 1/6 \le 1$.

Таким образом, сечение является пятиугольником с вершинами $M(0, 0.5, 0)$, $N(0.5, 0, 0)$, $L(1, 0, 1/6)$, $K(1, 1, 0.5)$, $J(0, 1, 1/6)$.

Изобразить сечение

Сечение представляет собой пятиугольник $MNLJK$. Его вершины расположены на ребрах куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ следующим образом:

• $M$ - середина ребра $AD$.
• $N$ - середина ребра $AB$.
• $L$ - точка на ребре $BB_1$, причем расстояние от $B$ до $L$ составляет $1/6$ длины ребра куба ($BL = 1/6$).
• $K$ - середина ребра $CC_1$.
• $J$ - точка на ребре $DD_1$, причем расстояние от $D$ до $J$ составляет $1/6$ длины ребра куба ($DJ = 1/6$).

Стороны пятиугольника $MNLJK$ соединяют эти точки: $MN$ находится в плоскости основания $ABCD$, $NL$ находится в грани $ABB_1A_1$, $LK$ находится в грани $BCC_1B_1$, $KJ$ находится в грани $CDD_1C_1$, и $JM$ находится в грани $ADD_1A_1$. Пятиугольник является выпуклым.

Ответ: Описание представлено выше.

Найти его площадь

Для нахождения площади пятиугольника $MNLJK$ воспользуемся методом проекции. Площадь проекции $S_{proj}$ фигуры на плоскость связана с площадью самой фигуры $S$ по формуле $S = S_{proj} / \cos\gamma$, где $\gamma$ - угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Уравнение плоскости сечения: $2x+2y-6z=1$.

Вектор нормали к этой плоскости: $\vec{n} = (2,2,-6)$.

Проектируем пятиугольник на координатную плоскость $xy$ (плоскость $z=0$). Вектор нормали к плоскости $xy$ это $\vec{k}=(0,0,1)$.

Модуль вектора нормали: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2+2^2+(-6)^2} = \sqrt{4+4+36} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$.

Косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$:

$\cos\gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}||\vec{k}|} = \frac{|(2)(0) + (2)(0) + (-6)(1)|}{2\sqrt{11}\cdot 1} = \frac{|-6|}{2\sqrt{11}} = \frac{6}{2\sqrt{11}} = \frac{3}{\sqrt{11}}$.

Проекции вершин пятиугольника на плоскость $xy$:

• $M_{xy} = (0,0.5)$
• $N_{xy} = (0.5,0)$
• $L_{xy} = (1,0)$
• $K_{xy} = (1,1)$
• $J_{xy} = (0,1)$

Эта проекция представляет собой квадрат с вершинами $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ (единичный квадрат) за вычетом прямоугольного треугольника с вершинами $(0,0), (0.5,0), (0,0.5)$.

Площадь единичного квадрата $S_{square} = 1 \times 1 = 1$.

Площадь вырезанного треугольника (с вершинами $(0,0), (0.5,0), (0,0.5)$) $S_{triangle} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 0.5 = \frac{1}{2} \times 0.25 = 0.125$.

Площадь проекции пятиугольника $S_{xy} = S_{square} - S_{triangle} = 1 - 0.125 = 0.875 = \frac{7}{8}$.

Теперь найдем площадь самого сечения:

$S = \frac{S_{xy}}{\cos\gamma} = \frac{7/8}{3/\sqrt{11}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{11}}{3} = \frac{7\sqrt{11}}{24}$.

Ответ: $\frac{7\sqrt{11}}{24}$.