Номер 62, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

62. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $A_1$ и середины ребер $BC$, $CD$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через вершину $A_1$ и середины ребер $BC$ и $CD$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ м.

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение:

Изобразите сечение

Пусть дан единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина каждого ребра куба равна 1. Введем систему координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а оси $x, y, z$ были направлены вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно. Тогда координаты вершин куба будут:

• $A=(0,0,0)$
• $B=(1,0,0)$
• $C=(1,1,0)$
• $D=(0,1,0)$
• $A_1=(0,0,1)$
• $B_1=(1,0,1)$
• $C_1=(1,1,1)$
• $D_1=(0,1,1)$

Сечение проходит через вершину $A_1=(0,0,1)$ и середины ребер $BC$ и $CD$.

Найдем координаты середин ребер:

• Пусть $K$ — середина ребра $BC$. Координаты $K = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, 0\right) = (1, 0.5, 0)$.
• Пусть $L$ — середина ребра $CD$. Координаты $L = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, 0\right) = (0.5, 1, 0)$.

Таким образом, сечение проходит через точки $A_1(0,0,1)$, $K(1,0.5,0)$ и $L(0.5,1,0)$.

Для того чтобы определить форму сечения, найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.

Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{A_1K} = K - A_1 = (1-0, 0.5-0, 0-1) = (1, 0.5, -1)$.

Вектор $\vec{A_1L} = L - A_1 = (0.5-0, 1-0, 0-1) = (0.5, 1, -1)$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение $\vec{A_1K} \times \vec{A_1L}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.5 & -1 \\ 0.5 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 0.5) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0.5)$

$\vec{n} = \mathbf{i}(-0.5 + 1) - \mathbf{j}(-1 + 0.5) + \mathbf{k}(1 - 0.25) = (0.5, 0.5, 0.75)$.

Для удобства можем умножить компоненты вектора нормали на 4: $\vec{n} = (2, 2, 3)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты нормали: $2x + 2y + 3z + D = 0$.

Используем точку $A_1(0,0,1)$ для нахождения $D$: $2(0) + 2(0) + 3(1) + D = 0 \implies 3 + D = 0 \implies D = -3$.

Уравнение плоскости сечения: $2x + 2y + 3z - 3 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба.

Известные точки: $A_1(0,0,1)$, $K(1,0.5,0)$, $L(0.5,1,0)$.

• Ребро $BB_1$: Точки на этом ребре имеют координаты $(1,0,z)$, где $0 \le z \le 1$.

  Подставим в уравнение плоскости: $2(1) + 2(0) + 3z - 3 = 0 \implies 2 + 3z - 3 = 0 \implies 3z = 1 \implies z = 1/3$.

  Точка пересечения $P=(1,0,1/3)$. Эта точка лежит на ребре $BB_1$, так как $0 \le 1/3 \le 1$.

• Ребро $DD_1$: Точки на этом ребре имеют координаты $(0,1,z)$, где $0 \le z \le 1$.

  Подставим в уравнение плоскости: $2(0) + 2(1) + 3z - 3 = 0 \implies 2 + 3z - 3 = 0 \implies 3z = 1 \implies z = 1/3$.

  Точка пересечения $Q=(0,1,1/3)$. Эта точка лежит на ребре $DD_1$, так как $0 \le 1/3 \le 1$.

• Другие ребра: $A_1$ является точкой пересечения с ребрами $AA_1$, $A_1B_1$, $A_1D_1$. Плоскость не пересекает другие ребра куба.

Таким образом, сечение представляет собой многоугольник с вершинами $A_1(0,0,1)$, $P(1,0,1/3)$, $K(1,0.5,0)$, $L(0.5,1,0)$ и $Q(0,1,1/3)$.

Последовательность вершин, образующих сечение: $A_1 \to P \to K \to L \to Q \to A_1$. Это пятиугольник.

Ответ: Сечение единичного куба, проходящее через указанные точки, является пятиугольником $A_1PKLQ$.

Найдите его площадь

Площадь пятиугольника $A_1PKLQ$ можно найти, спроецировав его на одну из координатных плоскостей, а затем умножив площадь проекции на обратный косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Уравнение плоскости сечения: $2x + 2y + 3z - 3 = 0$. Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}=(2,2,3)$.

Модуль вектора нормали: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{4+4+9} = \sqrt{17}$.

Рассмотрим проекцию пятиугольника на плоскость $xy$. Вектор нормали к плоскости $xy$ — это $\vec{k}=(0,0,1)$.

Косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$: $\cos\gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}||\vec{k}|} = \frac{|(2,2,3) \cdot (0,0,1)|}{\sqrt{17} \cdot 1} = \frac{|3|}{\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.

Проекции вершин пятиугольника на плоскость $xy$ (просто отбрасываем $z$-координату):

• $A'_1=(0,0)$
• $P'=(1,0)$
• $K'=(1,0.5)$
• $L'=(0.5,1)$
• $Q'=(0,1)$

Найдем площадь $S_{xy}$ этой проекции (пятиугольника $A'_1P'K'L'Q'$) по формуле площади многоугольника по координатам вершин (формула Гаусса или Shoelace formula).

$S_{xy} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_1) |$

Подставляем координаты вершин в порядке обхода ($A'_1, P', K', L', Q'$):

$x_1=0, y_1=0$ ($A'_1$)

$x_2=1, y_2=0$ ($P'$)

$x_3=1, y_3=0.5$ ($K'$)

$x_4=0.5, y_4=1$ ($L'$)

$x_5=0, y_5=1$ ($Q'$)

$S_{xy} = \frac{1}{2} | (0\cdot0 + 1\cdot0.5 + 1\cdot1 + 0.5\cdot1 + 0\cdot0) - (0\cdot1 + 0\cdot1 + 0.5\cdot0.5 + 1\cdot0 + 1\cdot0) |$

$S_{xy} = \frac{1}{2} | (0 + 0.5 + 1 + 0.5 + 0) - (0 + 0 + 0.25 + 0 + 0) |$

$S_{xy} = \frac{1}{2} | 2 - 0.25 | = \frac{1}{2} | 1.75 | = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{8}$.

Площадь сечения $S$ связана с площадью проекции $S_{xy}$ формулой: $S = \frac{S_{xy}}{\cos\gamma}$.

$S = \frac{7/8}{3/\sqrt{17}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{7\sqrt{17}}{24}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{7\sqrt{17}}{24}$.