Номер 57, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

57. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $A$ и середины ребер $CD$, $BB_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра $a = 1$.

Сечение проходит через вершину $A$, середину ребра $CD$ (обозначим ее $K$) и середину ребра $BB_1$ (обозначим ее $M$).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1. Для удобства расчетов введем систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ребро $AB$ лежит вдоль оси $Ox$, ребро $AD$ вдоль оси $Oy$, а ребро $AA_1$ вдоль оси $Oz$. Поскольку куб единичный, длина каждого ребра равна $1$.

Координаты вершин куба:

$A(0,0,0)$ $B(1,0,0)$ $C(1,1,0)$ $D(0,1,0)$ $A_1(0,0,1)$ $B_1(1,0,1)$ $C_1(1,1,1)$ $D_1(0,1,1)$

Найдем координаты заданных точек:

Вершина $A$ имеет координаты $A(0,0,0)$.

Середина ребра $CD$: $K = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$.

Середина ребра $BB_1$: $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = \left(1, 0, \frac{1}{2}\right)$.

2. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $A(0,0,0)$, $K(1/2, 1, 0)$, $M(1, 0, 1/2)$.

Векторы $\vec{AK}$ и $\vec{AM}$ лежат в этой плоскости:

$\vec{AK} = K - A = (1/2, 1, 0)$

$\vec{AM} = M - A = (1, 0, 1/2)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению этих векторов:

$\vec{n} = \vec{AK} \times \vec{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1/2 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1/2 \cdot 1/2 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1/2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, -1\right)$.

Для удобства расчетов умножим компоненты нормального вектора на 4: $\vec{n}' = (2, -1, -4)$.

Уравнение плоскости, проходящей через начало координат $A(0,0,0)$ с нормальным вектором $\vec{n}'(2, -1, -4)$:

$2x - y - 4z = 0$.

3.Изобразите сечение:

Чтобы определить форму сечения, найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба. Мы уже знаем точки $A(0,0,0)$, $K(1/2, 1, 0)$ и $M(1, 0, 1/2)$.

• Пересечение с ребром $CC_1$: это ребро лежит на линии $x=1, y=1$. Подставим эти значения в уравнение плоскости:

  $2(1) - 1 - 4z = 0 \implies 1 - 4z = 0 \implies 4z = 1 \implies z = 1/4$.

  Точка пересечения $N(1, 1, 1/4)$.

• Проверка других ребер на предмет пересечений внутри куба (для $x,y,z \in [0,1]$):

  • $DD_1$ ($x=0, y=1$): $2(0) - 1 - 4z = 0 \implies -1 - 4z = 0 \implies 4z = -1 \implies z = -1/4$. Эта точка лежит вне куба ($z < 0$).

  • $A_1B_1$ ($y=0, z=1$): $2x - 0 - 4(1) = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. Эта точка лежит вне куба ($x > 1$).

  • $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $2x - 1 - 4(1) = 0 \implies 2x = 5 \implies x = 5/2$. Эта точка лежит вне куба ($x > 1$).

Таким образом, сечение является четырехугольником $AKNM$ с вершинами: $A(0,0,0)$, $K(1/2, 1, 0)$, $N(1, 1, 1/4)$, $M(1, 0, 1/2)$.

Визуально сечение можно представить, соединив эти точки: $A$ (нижняя левая передняя вершина), $K$ (середина верхнего ребра задней грани), $N$ (на боковом ребре задней грани), $M$ (середина переднего ребра правой грани).

4.Найдите его площадь:

Площадь сечения можно найти, используя формулу для площади многоугольника в пространстве: $S_{сеч} = S_{проекции} / |\cos \gamma|$, где $S_{проекции}$ — площадь проекции сечения на одну из координатных плоскостей, а $\gamma$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Выберем проекцию на плоскость $xy$ (плоскость $z=0$). Координаты вершин проекции $A_pK_pN_pM_p$:

$A_p(0,0)$ $K_p(1/2, 1)$ $N_p(1, 1)$ $M_p(1, 0)$

Эта проекция является трапецией. Стороны $A_pM_p$ (на оси $Ox$) и $K_pN_p$ (на прямой $y=1$) параллельны оси $Ox$.

Длины оснований трапеции:

$b_1 = A_pM_p = 1 - 0 = 1$.

$b_2 = K_pN_p = 1 - 1/2 = 1/2$.

Высота трапеции (расстояние между прямыми $y=0$ и $y=1$) равна $h = 1$.

Площадь проекции $S_{проекции} = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h = \frac{1 + 1/2}{2} \cdot 1 = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.

Косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения (нормаль $\vec{n}'(2, -1, -4)$) и плоскостью $xy$ (нормаль $\vec{k}(0,0,1)$):

$|\cos \gamma| = \frac{|\vec{n}' \cdot \vec{k}|}{||\vec{n}'|| \cdot ||\vec{k}||}$.

Скалярное произведение $\vec{n}' \cdot \vec{k} = (2)(0) + (-1)(0) + (-4)(1) = -4$.

Модуль нормального вектора $||\vec{n}'|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21}$.

Модуль вектора оси $Oz$ $||\vec{k}|| = 1$.

$|\cos \gamma| = \frac{|-4|}{\sqrt{21} \cdot 1} = \frac{4}{\sqrt{21}}$.

Площадь сечения $S_{сеч} = S_{проекции} / |\cos \gamma| = \frac{3/4}{4/\sqrt{21}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{21}}{4} = \frac{3\sqrt{21}}{16}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{21}}{16}$.