Номер 58, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

58. Изобразите сечение единичного куба, $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $A_1 B_1, DD_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра $a=1$.
Сечение проходит через вершину $A$.
Сечение проходит через середину ребра $A_1B_1$. Обозначим эту точку как $M$.
Сечение проходит через середину ребра $DD_1$. Обозначим эту точку как $N$.

Найти:

1. Изобразить сечение.
2. Площадь сечения.

Решение:

Для удобства введем декартову систему координат с началом в вершине $A(0,0,0)$. Тогда оси координат совпадают с ребрами куба, выходящими из $A$. Координаты вершин куба будут: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$,
$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Точка $M$ – середина ребра $A_1B_1$. Ее координаты: $M = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0.5, 0, 1)$.

Точка $N$ – середина ребра $DD_1$. Ее координаты: $N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0, 1, 0.5)$.

Таким образом, сечение проходит через точки $A(0,0,0)$, $M(0.5, 0, 1)$ и $N(0, 1, 0.5)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Пусть уравнение плоскости имеет вид $ax+by+cz=d$.

1. Точка $A(0,0,0)$ лежит в плоскости: $a(0)+b(0)+c(0)=d \Rightarrow d=0$. Уравнение плоскости: $ax+by+cz=0$.

2. Точка $M(0.5, 0, 1)$ лежит в плоскости: $a(0.5)+b(0)+c(1)=0 \Rightarrow 0.5a+c=0 \Rightarrow c=-0.5a$.

3. Точка $N(0, 1, 0.5)$ лежит в плоскости: $a(0)+b(1)+c(0.5)=0 \Rightarrow b+0.5c=0$. Подставим $c=-0.5a$: $b+0.5(-0.5a)=0 \Rightarrow b-0.25a=0 \Rightarrow b=0.25a$.

Для удобства выберем $a=4$ (чтобы избавиться от дробей). Тогда $b=0.25 \cdot 4=1$ и $c=-0.5 \cdot 4=-2$. Уравнение плоскости сечения: $4x+y-2z=0$.

Изобразите сечение

Для построения сечения в кубе необходимо найти все точки пересечения плоскости $4x+y-2z=0$ с ребрами куба.

• Точка $A(0,0,0)$ является одной из вершин сечения.
• Точка $M(0.5,0,1)$ является серединой ребра $A_1B_1$ и лежит в плоскости сечения. Отрезок $AM$ является частью сечения и лежит в грани $ABB_1A_1$ (где $y=0$).
• Точка $N(0,1,0.5)$ является серединой ребра $DD_1$ и лежит в плоскости сечения. Отрезок $AN$ является частью сечения и лежит в грани $ADD_1A_1$ (где $x=0$).
• Рассмотрим верхнюю грань куба $A_1B_1C_1D_1$ (плоскость $z=1$). Уравнение плоскости сечения при $z=1$: $4x+y-2(1)=0 \Rightarrow 4x+y-2=0$. Точка $M(0.5,0,1)$ удовлетворяет этому уравнению ($4(0.5)+0-2=0$). Найдем точку пересечения этой линии с ребром $C_1D_1$ (где $y=1, z=1$). Подставим $y=1$ в уравнение $4x+y-2=0$: $4x+1-2=0 \Rightarrow 4x=1 \Rightarrow x=0.25$. Получаем точку $P_1(0.25,1,1)$. Эта точка лежит на ребре $C_1D_1$, так как $0 \le 0.25 \le 1$. Отрезок $MP_1$ является частью сечения и лежит в грани $A_1B_1C_1D_1$.
• Рассмотрим заднюю грань куба $CDD_1C_1$ (плоскость $y=1$). Уравнение плоскости сечения при $y=1$: $4x+1-2z=0$. Точка $N(0,1,0.5)$ удовлетворяет этому уравнению ($4(0)+1-2(0.5)=0$). Точка $P_1(0.25,1,1)$ также удовлетворяет этому уравнению ($4(0.25)+1-2(1)=0$). Отрезок $NP_1$ является частью сечения и лежит в грани $CDD_1C_1$.

Таким образом, сечение является четырехугольником $AMP_1N$ с вершинами: $A(0,0,0)$, $M(0.5,0,1)$, $P_1(0.25,1,1)$, $N(0,1,0.5)$.

Изобразить сечение графически в текстовом формате невозможно. Описанный выше процесс построения и координаты вершин определяют его форму и положение в кубе.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $AMP_1N$.

Найдите его площадь

Найдем площадь четырехугольника $AMP_1N$ с вершинами $A(0,0,0)$, $M(0.5,0,1)$, $P_1(0.25,1,1)$, $N(0,1,0.5)$. Используем метод проекции. Площадь сечения $S$ связана с площадью его проекции $S_{proj}$ на координатную плоскость формулой $S = S_{proj} / |\cos \gamma|$, где $\gamma$ - угол между плоскостью сечения и координатной плоскостью.

Выберем проекцию на плоскость $xy$. Проекции вершин на плоскость $xy$: $A_{xy}=(0,0)$, $M_{xy}=(0.5,0)$, $P_{1xy}=(0.25,1)$, $N_{xy}=(0,1)$.

Проекция сечения на плоскость $xy$ является трапецией с вершинами $A_{xy}(0,0)$, $M_{xy}(0.5,0)$, $P_{1xy}(0.25,1)$, $N_{xy}(0,1)$. Основания трапеции (параллельные оси $x$) лежат на прямых $y=0$ и $y=1$. Длина нижнего основания $b_1 = |M_{xy}A_{xy}| = 0.5 - 0 = 0.5$. Длина верхнего основания $b_2 = |P_{1xy}N_{xy}| = 0.25 - 0 = 0.25$. Высота трапеции $h$ – это расстояние между прямыми $y=0$ и $y=1$, то есть $h=1$.

Площадь проекции $S_{xy} = \frac{(b_1+b_2)h}{2} = \frac{(0.5+0.25) \cdot 1}{2} = \frac{0.75}{2} = \frac{3}{8}$.

Нормальный вектор к плоскости сечения $4x+y-2z=0$ равен $\vec{n}=(4,1,-2)$. Нормальный вектор к плоскости $xy$ равен $\vec{k}=(0,0,1)$.

Косинус угла $\gamma$ между плоскостями находится по формуле: $\cos \gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| |\vec{k}|}$
$\vec{n} \cdot \vec{k} = (4)(0) + (1)(0) + (-2)(1) = -2$.
$|\vec{n}| = \sqrt{4^2+1^2+(-2)^2} = \sqrt{16+1+4} = \sqrt{21}$.
$|\vec{k}| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1$.
Таким образом, $\cos \gamma = \frac{|-2|}{\sqrt{21} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{21}}$.

Площадь сечения $S = \frac{S_{xy}}{\cos \gamma} = \frac{3/8}{2/\sqrt{21}} = \frac{3}{8} \cdot \frac{\sqrt{21}}{2} = \frac{3\sqrt{21}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{21}}{16}$.