Номер 55, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

55. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $A$ и середины ребер $BC$, $DD_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Вершина $A$.

Середина ребра $BC$, обозначим $M$.

Середина ребра $DD_1$, обозначим $N$.

Сечение проходит через точки $A, M, N$.

Перевод в СИ: Не требуется, все размеры заданы в относительных единицах куба (ребро куба $a=1$).

Найти:

Изобразите сечение (описание построения).

Найдите его площадь.

Решение:

Примем длину ребра единичного куба за $a=1$. Введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба будут:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

Точка $M$ - середина ребра $BC$. Координаты $M$: $(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0.5, 0)$.

Точка $N$ - середина ребра $DD_1$. Координаты $N$: $(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0, 1, 0.5)$.

Изобразите сечение

Построение сечения выполняется следующим образом:

1. Точки $A(0,0,0)$ и $M(1,0.5,0)$ лежат в плоскости нижней грани $ABCD$. Соединяем их отрезком $AM$. Это первый след сечения на грани куба.
2. Точки $A(0,0,0)$ и $N(0,1,0.5)$ лежат в плоскости боковой грани $ADD_1A_1$. Соединяем их отрезком $AN$. Это второй след сечения на грани куба.
3. Чтобы найти остальные точки сечения, определим уравнение плоскости, проходящей через $A, M, N$. Вектор $\vec{AM} = (1 - 0, 0.5 - 0, 0 - 0) = (1, 0.5, 0)$. Вектор $\vec{AN} = (0 - 0, 1 - 0, 0.5 - 0) = (0, 1, 0.5)$. Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ находится как векторное произведение $\vec{AM} \times \vec{AN}$: $ \vec{n} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.5 & 0 \\ 0 & 1 & 0.5 \end{matrix} \right| = \mathbf{i}(0.5 \cdot 0.5 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0.5 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0) = 0.25\mathbf{i} - 0.5\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (0.25, -0.5, 1) $. Уравнение плоскости, проходящей через $A(0,0,0)$ с нормальным вектором $(0.25, -0.5, 1)$, имеет вид $0.25x - 0.5y + z = 0$. Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей: $x - 2y + 4z = 0$.
4. Найдем точки пересечения этой плоскости с остальными ребрами куба:
   • С ребром $CC_1$ (где $x=1, y=1, z \in [0,1]$): $1 - 2(1) + 4z = 0 \implies -1 + 4z = 0 \implies 4z = 1 \implies z = 0.25$. Получаем точку $P(1, 1, 0.25)$.
   • Проверка остальных ребер показывает, что других точек пересечения с внутренними частями ребер нет, кроме уже известных $A, M, N$ и найденной $P$.
5. Соединяем найденные точки:
   • Отрезок $AM$ (на грани $ABCD$).
   • Отрезок $MP$ (на грани $BCC_1B_1$, так как $M(1,0.5,0)$ и $P(1,1,0.25)$ лежат в этой грани).
   • Отрезок $PN$ (на грани $CDD_1C_1$, так как $P(1,1,0.25)$ и $N(0,1,0.5)$ лежат в этой грани).
   • Отрезок $NA$ (на грани $ADD_1A_1$).

Таким образом, сечение является четырехугольником $AMPN$ с вершинами $A(0,0,0)$, $M(1,0.5,0)$, $P(1,1,0.25)$, $N(0,1,0.5)$.

Ответ: Построение сечения описано выше. Сечение - четырехугольник $AMPN$.

Найдите его площадь

Определим тип четырехугольника $AMPN$.Вычислим векторы, соответствующие его сторонам:$\vec{AN} = (0 - 0, 1 - 0, 0.5 - 0) = (0, 1, 0.5)$.$\vec{MP} = (1 - 1, 1 - 0.5, 0.25 - 0) = (0, 0.5, 0.25)$.Заметим, что $\vec{AN} = 2 \cdot \vec{MP}$. Это означает, что векторы $\vec{AN}$ и $\vec{MP}$ коллинеарны, следовательно, стороны $AN$ и $MP$ параллельны.Таким образом, четырехугольник $AMPN$ является трапецией с параллельными основаниями $AN$ и $MP$.

Для вычисления площади трапеции можно использовать формулу $S = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$, где $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$ - векторы, соответствующие диагоналям трапеции. Диагоналями трапеции $AMPN$ являются отрезки $AP$ и $MN$.

Вычислим векторы диагоналей:

$\vec{AP} = (1 - 0, 1 - 0, 0.25 - 0) = (1, 1, 0.25)$.

$\vec{MN} = (0 - 1, 1 - 0.5, 0.5 - 0) = (-1, 0.5, 0.5)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{AP} \times \vec{MN}$:

$ \vec{AP} \times \vec{MN} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0.25 \\ -1 & 0.5 & 0.5 \end{matrix} \right| = \mathbf{i}(1 \cdot 0.5 - 0.25 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(1 \cdot 0.5 - 0.25 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.5 - 1 \cdot (-1)) $

$ = \mathbf{i}(0.5 - 0.125) - \mathbf{j}(0.5 + 0.25) + \mathbf{k}(0.5 + 1) $

$ = 0.375\mathbf{i} - 0.75\mathbf{j} + 1.5\mathbf{k} $

Найдем модуль этого вектора:

$ |\vec{AP} \times \vec{MN}| = \sqrt{(0.375)^2 + (-0.75)^2 + (1.5)^2} $

Переведем дроби: $0.375 = \frac{3}{8}$, $0.75 = \frac{3}{4}$, $1.5 = \frac{3}{2}$.

$ |\vec{AP} \times \vec{MN}| = \sqrt{\left(\frac{3}{8}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} $

$ = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{9}{16} + \frac{9}{4}} $

Приведем дроби к общему знаменателю $64$:

$ = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{9 \cdot 4}{16 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 16}{4 \cdot 16}} = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{36}{64} + \frac{144}{64}} $

$ = \sqrt{\frac{9 + 36 + 144}{64}} = \sqrt{\frac{189}{64}} $

$ = \frac{\sqrt{189}}{\sqrt{64}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 21}}{8} = \frac{3\sqrt{21}}{8} $

Площадь сечения $S$ равна половине модуля векторного произведения диагоналей:

$ S = \frac{1}{2} |\vec{AP} \times \vec{MN}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{21}}{8} = \frac{3\sqrt{21}}{16} $

Ответ:

Изобразите сечение: Сечение является четырехугольником $AMPN$, где $A$ - вершина куба, $M$ - середина ребра $BC$, $N$ - середина ребра $DD_1$, а $P$ - точка на ребре $CC_1$ такая, что $CP = \frac{1}{4}CC_1$. Стороны сечения: $AM$, $MP$, $PN$, $NA$.

Найдите его площадь: $S = \frac{3\sqrt{21}}{16}$.