Номер 54, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

54. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $A$ и середины ребер $CD$, $A_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина его ребра $a=1$.
Сечение проходит через следующие точки:

• Вершина $A$.
• Середина ребра $CD$. Обозначим эту точку как $M_{CD}$.
• Середина ребра $A_1D_1$. Обозначим эту точку как $M_{A_1D_1}$.

Введем систему координат с началом в вершине $A(0,0,0)$, осью $Ox$ вдоль $AB$, осью $Oy$ вдоль $AD$ и осью $Oz$ вдоль $AA_1$.
Тогда координаты вершин куба:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

Координаты заданных точек сечения:

• $A(0,0,0)$
• $M_{CD}$: середина ребра $CD$. Координаты $C(1,1,0)$ и $D(0,1,0)$.
  $M_{CD} = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$.
• $M_{A_1D_1}$: середина ребра $A_1D_1$. Координаты $A_1(0,0,1)$ и $D_1(0,1,1)$.
  $M_{A_1D_1} = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}, 1\right)$.

Найти

• Изобразите сечение (описание сечения).
• Найдите его площадь.

Решение

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $A(0,0,0)$, $M_{CD}(\frac{1}{2}, 1, 0)$ и $M_{A_1D_1}(0, \frac{1}{2}, 1)$.
Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.
Поскольку точка $A(0,0,0)$ лежит в плоскости, $A(0) + B(0) + C(0) + D = 0$, что означает $D=0$.
Уравнение плоскости упрощается до $Ax + By + Cz = 0$.

Подставим координаты точки $M_{CD}(\frac{1}{2}, 1, 0)$ в уравнение плоскости:
$A\left(\frac{1}{2}\right) + B(1) + C(0) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}A + B = 0 \Rightarrow B = -\frac{1}{2}A$.

Подставим координаты точки $M_{A_1D_1}(0, \frac{1}{2}, 1)$ в уравнение плоскости:
$A(0) + B\left(\frac{1}{2}\right) + C(1) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}B + C = 0 \Rightarrow C = -\frac{1}{2}B$.

Теперь подставим выражение для $B$ в уравнение для $C$:
$C = -\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}A\right) = \frac{1}{4}A$.

Для удобства, выберем значение $A$. Пусть $A=4$. Тогда:
$B = -\frac{1}{2}(4) = -2$
$C = \frac{1}{4}(4) = 1$
Уравнение плоскости сечения: $4x - 2y + z = 0$.

Теперь найдем все точки пересечения этой плоскости с ребрами куба.

• Ребро $AB$ (ось $Ox$, $y=0, z=0$): $4x - 2(0) + 0 = 0 \Rightarrow 4x=0 \Rightarrow x=0$. Это точка $A(0,0,0)$.
• Ребро $AD$ (ось $Oy$, $x=0, z=0$): $4(0) - 2y + 0 = 0 \Rightarrow -2y=0 \Rightarrow y=0$. Это точка $A(0,0,0)$.
• Ребро $AA_1$ (ось $Oz$, $x=0, y=0$): $4(0) - 2(0) + z = 0 \Rightarrow z=0$. Это точка $A(0,0,0)$.
• Ребро $CD$ ($y=1, z=0$): $4x - 2(1) + 0 = 0 \Rightarrow 4x-2=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$. Это точка $M_{CD}(\frac{1}{2}, 1, 0)$, как и было дано.
• Ребро $A_1D_1$ ($x=0, z=1$): $4(0) - 2y + 1 = 0 \Rightarrow -2y+1=0 \Rightarrow y=\frac{1}{2}$. Это точка $M_{A_1D_1}(0, \frac{1}{2}, 1)$, как и было дано.
• Ребро $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $4x - 2(1) + 1 = 0 \Rightarrow 4x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{4}$. Эта точка $P_{C_1D_1}(\frac{1}{4}, 1, 1)$ является новой точкой сечения.
• Для остальных ребер (например, $BC$ ($x=1, z=0$): $4(1) - 2y + 0 = 0 \Rightarrow y=2$, что вне диапазона $[0,1]$) пересечений с плоскостью в пределах ребра нет.

Изобразите сечение

Сечение является многоугольником, вершинами которого являются найденные точки пересечения плоскости с ребрами куба. Эти точки: $A(0,0,0)$, $M_{CD}(\frac{1}{2}, 1, 0)$, $P_{C_1D_1}(\frac{1}{4}, 1, 1)$, и $M_{A_1D_1}(0, \frac{1}{2}, 1)$.
Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $A M_{CD} P_{C_1D_1} M_{A_1D_1}$.

Для визуализации сечения:

1. Отметьте вершину $A$.
2. Найдите середину $M_{CD}$ ребра $CD$. Отрезок $AM_{CD}$ лежит на нижней грани $ABCD$.
3. Найдите середину $M_{A_1D_1}$ ребра $A_1D_1$. Отрезок $AM_{A_1D_1}$ лежит на боковой грани $ADD_1A_1$.
4. Найдите точку $P_{C_1D_1}$ на ребре $C_1D_1$ (она находится на расстоянии $1/4$ от $D_1$ или $3/4$ от $C_1$). Отрезок $M_{CD}P_{C_1D_1}$ лежит на задней грани $CDD_1C_1$.
5. Отрезок $P_{C_1D_1}M_{A_1D_1}$ лежит на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

Соединив эти точки в указанном порядке ($A \to M_{CD} \to P_{C_1D_1} \to M_{A_1D_1} \to A$), получим искомый четырехугольник.

Ответ: Сечение является четырехугольником $A M_{CD} P_{C_1D_1} M_{A_1D_1}$, где $M_{CD}$ - середина ребра $CD$, $M_{A_1D_1}$ - середина ребра $A_1D_1$, а $P_{C_1D_1}$ - точка на ребре $C_1D_1$ с координатами $(\frac{1}{4}, 1, 1)$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади четырехугольника $A M_{CD} P_{C_1D_1} M_{A_1D_1}$ с вершинами $V_1=A(0,0,0)$, $V_2=M_{CD}(\frac{1}{2}, 1, 0)$, $V_3=P_{C_1D_1}(\frac{1}{4}, 1, 1)$ и $V_4=M_{A_1D_1}(0, \frac{1}{2}, 1)$, разделим его на два треугольника: $V_1V_2V_3$ и $V_1V_3V_4$. Площадь каждого треугольника можно найти как половину модуля векторного произведения двух его сторон.

1. Площадь треугольника $V_1V_2V_3$ (треугольник $A M_{CD} P_{C_1D_1}$):
Векторы, исходящие из вершины $A$ ($V_1$):
$\vec{V_1V_2} = \vec{AM_{CD}} = (\frac{1}{2}, 1, 0)$
$\vec{V_1V_3} = \vec{AP_{C_1D_1}} = (\frac{1}{4}, 1, 1)$
Векторное произведение $\vec{N_1} = \vec{V_1V_2} \times \vec{V_1V_3}$:

$\vec{N_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ \frac{1}{4} & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{4}) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{4})$

$\vec{N_1} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(\frac{1}{2}) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \left(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$.

2. Площадь треугольника $V_1V_3V_4$ (треугольник $A P_{C_1D_1} M_{A_1D_1}$):
Векторы, исходящие из вершины $A$ ($V_1$):
$\vec{V_1V_3} = \vec{AP_{C_1D_1}} = (\frac{1}{4}, 1, 1)$
$\vec{V_1V_4} = \vec{AM_{A_1D_1}} = (0, \frac{1}{2}, 1)$
Векторное произведение $\vec{N_2} = \vec{V_1V_3} \times \vec{V_1V_4}$:

$\vec{N_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{4} & 1 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{2}) - \mathbf{j}(\frac{1}{4} \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 0)$

$\vec{N_2} = \mathbf{i}(1 - \frac{1}{2}) - \mathbf{j}(\frac{1}{4}) + \mathbf{k}(\frac{1}{8}) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{8}\right)$.

Общая площадь сечения $S$ равна сумме площадей этих двух треугольников:
$S = S_{V_1V_2V_3} + S_{V_1V_3V_4} = \frac{\sqrt{21}}{8} + \frac{\sqrt{21}}{16} = \frac{2\sqrt{21}}{16} + \frac{\sqrt{21}}{16} = \frac{3\sqrt{21}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{21}}{16}$.