Номер 33, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями $BCC_1$ и $AFE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:

Косинус угла между плоскостями $BCC_1$ и $AFE_1$, $\cos \theta$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат.

Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Ось $z$ направим вдоль бокового ребра (высоты призмы). Вершину $A$ нижнего основания расположим на оси $x$.

Поскольку призма правильная и длина всех ребер равна 1, сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ при $a=1$:

$A = (1, 0, 0)$, $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D = (-1, 0, 0)$, $E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Координаты необходимых вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (z-координата равна $h=1$):

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$, $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

1. Нахождение нормального вектора к плоскости $BCC_1$:

Плоскость $BCC_1$ содержит точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Заметим, что все точки, лежащие в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$, имеют одинаковую $y$-координату, равную $\sqrt{3}/2$. (Например, $B_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$, $C_1=(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$). Это означает, что уравнение плоскости $BCC_1$ есть $y = \sqrt{3}/2$.

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к этой плоскости параллелен оси $y$. В качестве нормального вектора можно взять $\vec{n_1} = (0, 1, 0)$.

Его длина (модуль): $||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

2. Нахождение нормального вектора к плоскости $AFE_1$:

Плоскость $AFE_1$ содержит точки $A(1, 0, 0)$, $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{AF} = F - A = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$\vec{AE_1} = E_1 - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $AFE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AF} \times \vec{AE_1}$:

$\vec{n_2} = \vec{AF} \times \vec{AE_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$x$-компонента: $(-\sqrt{3}/2) \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3}/2) = -\sqrt{3}/2$

$y$-компонента: $-[(-1/2) \cdot 1 - 0 \cdot (-3/2)] = -(-1/2) = 1/2$

$z$-компонента: $(-1/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) - (-\sqrt{3}/2) \cdot (-3/2) = \sqrt{3}/4 - 3\sqrt{3}/4 = -2\sqrt{3}/4 = -\sqrt{3}/2$

Таким образом, $\vec{n_2} = (-\sqrt{3}/2, 1/2, -\sqrt{3}/2)$.

Для удобства вычислений можно умножить вектор на скаляр 2, получим сонаправленный нормальный вектор $\vec{n_2}' = (-\sqrt{3}, 1, -\sqrt{3})$.

Его длина (модуль): $||\vec{n_2}'|| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 3} = \sqrt{7}$.

3. Нахождение косинуса угла между плоскостями:

Косинус угла $\theta$ между двумя плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами. Формула для косинуса угла между векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}'$:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}'|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}'||}$

Скалярное произведение $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}' = (0)(-\sqrt{3}) + (1)(1) + (0)(-\sqrt{3}) = 0 + 1 + 0 = 1$.

Подставляем значения в формулу:

$\cos \theta = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{7}$