Номер 28, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

28. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $AFE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна $1$.

Найти:

Тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $AFE_1$.

Решение:

1. Определим угол между двумя плоскостями. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно их линии пересечения.

2. Найдем линию пересечения плоскостей $ABC$ и $AFE_1$. Плоскость $ABC$ является плоскостью нижнего основания призмы. Плоскость $AFE_1$ содержит вершины $A$, $F$ (лежащие в плоскости основания) и $E_1$ (лежащую в плоскости верхнего основания). Таким образом, общая прямая для этих двух плоскостей - это прямая, проходящая через точки $A$ и $F$. Линия пересечения - прямая $AF$.

3. Построим перпендикуляры к линии пересечения. Пусть $E$ - проекция вершины $E_1$ на плоскость нижнего основания $ABC$. Поскольку призма правильная, отрезок $E_1E$ перпендикулярен плоскости основания $ABC$. Длина $E_1E$ равна высоте призмы, которая по условию задачи равна $1$.

4. В плоскости основания $ABC$ проведем прямую $EP$ из точки $E$ перпендикулярно прямой $AF$. Точка $P$ будет лежать на прямой $AF$.

5. По теореме о трех перпендикулярах, если $E_1E \perp (ABC)$ и $EP \perp AF$ (где $EP$ - проекция $E_1P$ на плоскость $ABC$), то $E_1P \perp AF$. Таким образом, искомый угол между плоскостями $ABC$ и $AFE_1$ равен углу $\angle E_1PE$ в прямоугольном треугольнике $E_1PE$ (с прямым углом при вершине $E$).

6. Найдем координаты необходимых точек. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку призма правильная шестиугольная, и все ее ребра равны $1$, то длина стороны основания $a=1$, и высота призмы $h=1$. Координаты вершин:

• $A = (1, 0, 0)$
• $F = (\cos(-60^\circ), \sin(-60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $E = (\cos(-120^\circ), \sin(-120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ (проекция $E_1$ на плоскость основания)
• $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

7. Найдем координаты точки $P$, которая является проекцией точки $E$ на прямую $AF$. Для этого используем векторный метод. Вектор $\vec{AF} = F - A = (\frac{1}{2}-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Вектор $\vec{AE} = E - A = (-\frac{1}{2}-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Вектор $\vec{AP}$ (проекция $\vec{AE}$ на $\vec{AF}$) вычисляется по формуле: $\vec{AP} = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{AF}}{||\vec{AF}||^2} \vec{AF}$. Скалярное произведение $\vec{AE} \cdot \vec{AF} = (-\frac{3}{2})(-\frac{1}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Квадрат длины вектора $||\vec{AF}||^2 = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$. Таким образом, $\vec{AP} = \frac{3/2}{1} \vec{AF} = \frac{3}{2} \vec{AF}$. Координаты точки $P$: $P = A + \vec{AP} = A + \frac{3}{2}\vec{AF} = (1,0,0) + \frac{3}{2}(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (1 - \frac{3}{4}, 0 - \frac{3\sqrt{3}}{4}, 0) = (\frac{1}{4}, -\frac{3\sqrt{3}}{4}, 0)$.

8. Найдем длину отрезка $EP$. Вектор $\vec{EP} = P - E = (\frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}), -\frac{3\sqrt{3}}{4} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0) = (\frac{1}{4} + \frac{2}{4}, -\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{2\sqrt{3}}{4}, 0) = (\frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{4}, 0)$. Длина $EP = ||\vec{EP}|| = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{4})^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{3}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

9. Вычислим тангенс искомого угла $\alpha = \angle E_1PE$. В прямоугольном треугольнике $E_1PE$: $E_1E = 1$ (высота призмы). $EP = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{E_1E}{EP} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$. Рационализируем знаменатель: $\tan(\alpha) = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$