Номер 2, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A B_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$.

Решение:

Рассмотрим грань куба $ABB_1A_1$. Эта грань является квадратом, так как это единичный куб, то длина его ребра равна 1. Следовательно, стороны квадрата $AB$ и $BB_1$ равны 1.

Прямая $AB_1$ является диагональю этого квадрата, а точка $B$ – его вершина.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Этот треугольник является прямоугольным, поскольку ребра куба $AB$ и $BB_1$ перпендикулярны. Угол $\angle ABB_1 = 90^\circ$.

Длины катетов треугольника $ABB_1$ равны:
$AB = a = 1$
$BB_1 = a = 1$

Длина гипотенузы $AB_1$ (которая является диагональю грани) может быть найдена по теореме Пифагора:
$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2}$
$AB_1 = \sqrt{1^2 + 1^2}$
$AB_1 = \sqrt{1 + 1}$
$AB_1 = \sqrt{2}$

Расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$ – это длина высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на гипотенузу $AB_1$ в прямоугольном треугольнике $ABB_1$.

Площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена двумя способами:
1. Половина произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \times AB \times BB_1$
2. Половина произведения гипотенузы на высоту, опущенную на эту гипотенузу: $S = \frac{1}{2} \times AB_1 \times BH$

Приравняем эти выражения для площади треугольника $ABB_1$:
$\frac{1}{2} \times AB \times BB_1 = \frac{1}{2} \times AB_1 \times BH$
$AB \times BB_1 = AB_1 \times BH$

Подставим известные значения:
$1 \times 1 = \sqrt{2} \times BH$
$1 = \sqrt{2} \times BH$

Выразим $BH$ (искомое расстояние):
$BH = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$BH = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$
$BH = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ:
Расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$ составляет $\frac{\sqrt{2}}{2}$.