Номер 30, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

30. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями $AFE_1$ и $CDE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны 1.

Перевод в СИ:

Длина стороны основания призмы $a = 1$ (единица длины).
Высота призмы $h = 1$ (единица длины).

Найти:

Косинус угла между плоскостями $AFE_1$ и $CDE_1$.

Решение:

Для нахождения косинуса угла между плоскостями воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания призмы в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку призма правильная, ее основания являются правильными шестиугольниками, и боковые ребра перпендикулярны основаниям. Все ребра равны 1.

Координаты вершин нижнего основания (плоскость $z=0$, сторона шестиугольника $a=1$):
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (плоскость $z=h=1$):
$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$
$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем нормальный вектор $\vec{n_1}$ для плоскости $AFE_1$. Для этого возьмем векторы, лежащие в этой плоскости, например, $\vec{AF}$ и $\vec{AE_1}$.
Координаты точек: $A(1,0,0)$, $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.
$\vec{AF} = F - A = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$\vec{AE_1} = E_1 - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
Нормальный вектор $\vec{n_1}$ находится как векторное произведение $\vec{AF} \times \vec{AE_1}$:
$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$
$\vec{n_1} = \mathbf{i}((-\sqrt{3}/2)(1) - 0) - \mathbf{j}((-1/2)(1) - 0) + \mathbf{k}((-1/2)(-\sqrt{3}/2) - (-\sqrt{3}/2)(-3/2))$
$\vec{n_1} = (-\sqrt{3}/2) \mathbf{i} - (-1/2) \mathbf{j} + (\sqrt{3}/4 - 3\sqrt{3}/4) \mathbf{k}$
$\vec{n_1} = (-\sqrt{3}/2, 1/2, -2\sqrt{3}/4) = (-\sqrt{3}/2, 1/2, -\sqrt{3}/2)$
Для упрощения вычислений можно взять вектор, коллинеарный $\vec{n_1}$, например, $\vec{n_1}' = 2\vec{n_1} = (-\sqrt{3}, 1, -\sqrt{3})$.

Найдем нормальный вектор $\vec{n_2}$ для плоскости $CDE_1$. Для этого возьмем векторы, лежащие в этой плоскости, например, $\vec{CD}$ и $\vec{CE_1}$.
Координаты точек: $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D(-1, 0, 0)$, $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.
$\vec{CD} = D - C = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$\vec{CE_1} = E_1 - C = (-1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$
Нормальный вектор $\vec{n_2}$ находится как векторное произведение $\vec{CD} \times \vec{CE_1}$:
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix}$
$\vec{n_2} = \mathbf{i}((-\sqrt{3}/2)(1) - 0) - \mathbf{j}((-1/2)(1) - 0) + \mathbf{k}((-1/2)(-\sqrt{3}) - 0)$
$\vec{n_2} = (-\sqrt{3}/2) \mathbf{i} - (-1/2) \mathbf{j} + (\sqrt{3}/2) \mathbf{k}$
$\vec{n_2} = (-\sqrt{3}/2, 1/2, \sqrt{3}/2)$
Для упрощения вычислений можно взять вектор, коллинеарный $\vec{n_2}$, например, $\vec{n_2}' = 2\vec{n_2} = (-\sqrt{3}, 1, \sqrt{3})$.

Косинус угла $\theta$ между двумя плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами: $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}'|}{||\vec{n_1}'|| \cdot ||\vec{n_2}'||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}'$:
$\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = (-\sqrt{3})(-\sqrt{3}) + (1)(1) + (-\sqrt{3})(\sqrt{3})$
$\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = 3 + 1 - 3 = 1$

Вычислим модули нормальных векторов:
$||\vec{n_1}'|| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 3} = \sqrt{7}$
$||\vec{n_2}'|| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 3} = \sqrt{7}$

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{|1|}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{1}{7}$

Ответ:

$\frac{1}{7}$