Номер 24, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $AEF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $AEF_1$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Разместим центр нижнего основания (плоскости $ABC$) в начале координат $(0, 0, 0)$. Поскольку призма правильная и все её ребра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $s=1$, и высота призмы $h=1$. Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ для правильного шестиугольника со стороной $s=1$ и центром в $(0,0,0)$:

$A = (1, 0, 0)$

$E = (1 \cdot \cos(4 \cdot 60^\circ), 1 \cdot \sin(4 \cdot 60^\circ), 0) = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(5 \cdot 60^\circ), 1 \cdot \sin(5 \cdot 60^\circ), 0) = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Для верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все z-координаты увеличиваются на высоту призмы, то есть на 1.

$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Плоскость $ABC$ является плоскостью основания, которая в нашей системе координат совпадает с плоскостью $z=0$. Нормальный вектор к плоскости $ABC$ (или $z=0$) может быть выбран как $\vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1)$.

Для плоскости $AEF_1$ нам нужны три точки: $A(1, 0, 0)$, $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$. Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{AE} = E - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$\vec{AF_1} = F_1 - A = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Нормальный вектор к плоскости $AEF_1$ найдем как векторное произведение $\vec{n}_{AEF_1} = \vec{AE} \times \vec{AF_1}$:

$\vec{n}_{AEF_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-\sqrt{3}/2)(1) - 0) - \mathbf{j}((-3/2)(1) - 0) + \mathbf{k}((-3/2)(-\sqrt{3}/2) - (-\sqrt{3}/2)(-1/2))$

$\vec{n}_{AEF_1} = (-\sqrt{3}/2) \mathbf{i} + (3/2) \mathbf{j} + (3\sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/4) \mathbf{k}$

$\vec{n}_{AEF_1} = (-\sqrt{3}/2, 3/2, 2\sqrt{3}/4) = (-\sqrt{3}/2, 3/2, \sqrt{3}/2)$

Для удобства можно умножить этот вектор на 2: $\vec{n}_{AEF_1} = (-\sqrt{3}, 3, \sqrt{3})$.

Угол $\theta$ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Косинус угла $\theta$ находится по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}_{AEF_1}|}{||\vec{n}_{ABC}|| \cdot ||\vec{n}_{AEF_1}||}$

Скалярное произведение: $\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}_{AEF_1} = (0)(-\sqrt{3}) + (0)(3) + (1)(\sqrt{3}) = \sqrt{3}$

Модули векторов:

$||\vec{n}_{ABC}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$

$||\vec{n}_{AEF_1}|| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 9 + 3} = \sqrt{15}$

Тогда:

$\cos \theta = \frac{|\sqrt{3}|}{1 \cdot \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Теперь найдем тангенс угла $\theta$. Мы знаем, что $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (1/\sqrt{5})^2 = 1 - 1/5 = 4/5$

Так как угол между плоскостями всегда острый или прямой, $\sin \theta \ge 0$.

$\sin \theta = \sqrt{4/5} = 2/\sqrt{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2/\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}} = 2$

Ответ: 2