Номер 23, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23. В правильной треугольной призме $A B C A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями $BCA_1$ и $AB_1 C_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Длины всех ребер равны 1. То есть, $AB = BC = AC = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Все данные уже в относительных единицах, перевод в СИ не требуется, так как искомая величина — косинус угла, является безразмерной.

Найти:

Косинус угла между плоскостями $BCA_1$ и $AB_1C_1$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Разместим призму в декартовой системе координат.

Пусть середина ребра $AB$ лежит в начале координат $(0,0,0)$.

Тогда координаты вершин основания $ABC$ (эквивалентного треугольника со стороной 1) будут:

$A = (0, -\frac{1}{2}, 0)$

$B = (0, \frac{1}{2}, 0)$

$C = (\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$

Так как все ребра призмы равны 1, высота призмы также равна 1. Координаты вершин верхнего основания $A_1 B_1 C_1$ будут:

$A_1 = (0, -\frac{1}{2}, 1)$

$B_1 = (0, \frac{1}{2}, 1)$

$C_1 = (\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 1)$

Найдем нормальный вектор для плоскости $BCA_1$.

Точки плоскости: $B(0, \frac{1}{2}, 0)$, $C(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$, $A_1(0, -\frac{1}{2}, 1)$.

Векторы, лежащие в плоскости:

$\vec{CB} = B - C = (0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$

$\vec{CA_1} = A_1 - C = (0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - 0, 1 - 0) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $BCA_1$ найдем как векторное произведение $\vec{CB} \times \vec{CA_1}$:

$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} = (\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{1}{2})) \mathbf{i} - ((-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) \mathbf{j} + ((-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) \mathbf{k}$

$\vec{n_1} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства вычислений умножим вектор $\vec{n_1}$ на 2: $\vec{n_1'} = (1, \sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Найдем нормальный вектор для плоскости $AB_1C_1$.

Точки плоскости: $A(0, -\frac{1}{2}, 0)$, $B_1(0, \frac{1}{2}, 1)$, $C_1(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 1)$.

Векторы, лежащие в плоскости:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (0 - 0, \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), 1 - 0) = (0, 1, 1)$

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - (-\frac{1}{2}), 1 - 0) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $AB_1C_1$ найдем как векторное произведение $\vec{AB_1} \times \vec{AC_1}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{2}) \mathbf{i} - (0 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \mathbf{j} + (0 \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \mathbf{k}$

$\vec{n_2} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства вычислений умножим вектор $\vec{n_2}$ на 2: $\vec{n_2'} = (1, \sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

Косинус угла $\theta$ между плоскостями равен косинусу угла между их нормальными векторами.

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'}|}{||\vec{n_1'}|| \cdot ||\vec{n_2'}||}$

Скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'} = (1)(1) + (\sqrt{3})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = 1 + 3 - 3 = 1$

Модули нормальных векторов:

$||\vec{n_1'}|| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3 + 3} = \sqrt{7}$

$||\vec{n_2'}|| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3 + 3} = \sqrt{7}$

Подставляем значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{|1|}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$