Номер 27, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями $AFD_1$ и $CDF_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1.

Найти

Угол между плоскостями $AFD_1$ и $CDF_1$.

Решение

1.Введение системы координат

Поместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начало координат $O(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль радиуса $OA$. Ось $Oz$ направим вдоль ребра $OO_1$ (высота призмы). Так как призма правильная и длина всех ребер равна 1, то сторона шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$. Координаты вершин будут следующими:

• $A=(1,0,0)$
• $F=(1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $D_1=(-1,0,1)$ (Вершина $D$ на нижнем основании: $(-1,0,0)$, а $D_1$ на верхнем основании)
• $C=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D=(-1,0,0)$
• $F_1=(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

2.Нахождение нормального вектора для плоскости $AFD_1$

Для нахождения нормального вектора $\vec{n_1}$ к плоскости $AFD_1$ возьмем два вектора, лежащих в этой плоскости, например $\vec{AF}$ и $\vec{AD_1}$.

• $\vec{AF} = F - A = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $\vec{AD_1} = D_1 - A = (-1 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-2, 0, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ найдем как векторное произведение $\vec{AF} \times \vec{AD_1}$:

$\vec{n_1} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n_1} = \mathbf{i}((-\sqrt{3}/2)(1) - 0) - \mathbf{j}((-1/2)(1) - 0) + \mathbf{k}((-1/2)(0) - (-\sqrt{3}/2)(-2))$

$\vec{n_1} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{1}{2}\mathbf{j} - \sqrt{3}\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, -\sqrt{3})$

Для упрощения вычислений возьмем вектор, коллинеарный $\vec{n_1}$, умножив его на 2: $\vec{n_1'} = (-\sqrt{3}, 1, -2\sqrt{3})$.

3.Нахождение нормального вектора для плоскости $CDF_1$

Аналогично, для плоскости $CDF_1$ возьмем векторы $\vec{CD}$ и $\vec{CF_1}$.

• $\vec{CD} = D - C = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $\vec{CF_1} = F_1 - C = (1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1, -\sqrt{3}, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ найдем как векторное произведение $\vec{CD} \times \vec{CF_1}$:

$\vec{n_2} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 1 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n_2} = \mathbf{i}((-\sqrt{3}/2)(1) - 0) - \mathbf{j}((-1/2)(1) - 0) + \mathbf{k}((-1/2)(-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}/2)(1))$

$\vec{n_2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{1}{2}\mathbf{j} + (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \sqrt{3})$

Для упрощения вычислений возьмем вектор, коллинеарный $\vec{n_2}$, умножив его на 2: $\vec{n_2'} = (-\sqrt{3}, 1, 2\sqrt{3})$.

4.Вычисление угла между плоскостями

Угол $\phi$ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Для этого используем формулу косинуса угла между векторами:

$\cos\phi = \frac{|\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'}|}{||\vec{n_1'}|| \cdot ||\vec{n_2'}||}$

• Скалярное произведение $\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'}$:

$\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'} = (-\sqrt{3})(-\sqrt{3}) + (1)(1) + (-2\sqrt{3})(2\sqrt{3}) = 3 + 1 - 12 = -8$

• Модули нормальных векторов:

$||\vec{n_1'}|| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 12} = \sqrt{16} = 4$

$||\vec{n_2'}|| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 12} = \sqrt{16} = 4$

Теперь подставим значения в формулу для $\cos\phi$:

$\cos\phi = \frac{|-8|}{4 \cdot 4} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Следовательно, $\phi = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$