Номер 21, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $BCA_1$.

Дано:

В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$ все ребра равны 1.

Длина ребра призмы $a = 1$.

Найти:

Тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $BCA_1$.

Решение:

Угол между плоскостями определяется как угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения, проведенными из одной точки на этой линии.

1. Линией пересечения плоскостей $ABC$ и $BCA_1$ является прямая $BC$.

2. В плоскости $ABC$ проведем высоту $AM$ равностороннего треугольника $ABC$ к стороне $BC$. Точка $M$ — середина $BC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, $AM \perp BC$.

Длина $AM$ (высота равностороннего треугольника со стороной $a$) вычисляется по формуле: $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем $a=1$: $AM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. В плоскости $BCA_1$ также необходимо провести перпендикуляр к $BC$. Поскольку призма правильная, боковое ребро $A_1A$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $A_1A \perp BC$.

Мы имеем $A_1A \perp BC$ и $AM \perp BC$. Поскольку $A_1A$ и $AM$ являются пересекающимися прямыми, лежащими в плоскости $A_1AM$, то прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $A_1AM$. Из этого следует, что любая прямая, лежащая в плоскости $A_1AM$ и проходящая через точку $M$, будет перпендикулярна $BC$. В частности, $A_1M \perp BC$.

4. Угол между плоскостями $ABC$ и $BCA_1$ равен углу между прямыми $AM$ и $A_1M$, то есть $\angle A_1MA$. Обозначим этот угол как $\phi$.

5. Рассмотрим треугольник $A_1AM$. Этот треугольник является прямоугольным, так как $A_1A \perp AM$ (поскольку $A_1A$ перпендикулярна плоскости $ABC$, а $AM$ лежит в этой плоскости). Прямой угол находится при вершине $A$.

Нам известны длины катетов:

$A_1A = 1$ (высота призмы, которая равна длине ребра).

$AM = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тангенс угла $\phi$ в прямоугольном треугольнике $A_1AM$ определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

$\tan \phi = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{A_1A}{AM}$.

Подставляем известные значения:

$\tan \phi = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\tan \phi = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

Тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $BCA_1$ равен $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.