Номер 16, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями $ABC$ и $SEF$.

Дано

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$.

Боковые ребра $l = 2$.

Найти:

Косинус угла между плоскостями $ABC$ и $SEF$.

Решение

Угол между плоскостью основания $ABC$ и боковой гранью $SEF$ - это двугранный угол. Линия пересечения этих плоскостей - ребро $EF$ основания.

Для нахождения двугранного угла необходимо выбрать точку на ребре $EF$ и провести из нее перпендикуляры к $EF$ в каждой из плоскостей. Угол между этими перпендикулярами и будет искомым углом.

Пусть $O$ - центр правильного шестиугольника $ABCDEF$ (и проекция вершины $S$ на плоскость основания).

1. Проведем $OM \perp EF$, где $M$ - середина $EF$. $OM$ - апофема основания.

2. Проведем $SM \perp EF$. Так как $SE=SF$ (боковые ребра равны), треугольник $SEF$ равнобедренный, и $SM$ - его высота, опущенная на основание $EF$. $SM$ - апофема боковой грани.

3. Угол между плоскостями $ABC$ и $SEF$ - это угол $\angle SMO$. Треугольник $SOM$ является прямоугольным, так как $SO$ - высота пирамиды, перпендикулярная плоскости основания $ABC$, а значит, и отрезку $OM$, лежащему в этой плоскости.

Вычислим длины отрезков $OM$ и $SM$.

1. Вычисление $OM$:

Для правильного шестиугольника со стороной $a=1$, расстояние от центра до середины стороны (апофема) $OM$ вычисляется по формуле:

$OM = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим $a=1$:

$OM = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Вычисление $SM$:

Рассмотрим треугольник $SEF$. Это равнобедренный треугольник со сторонами $SE=SF=l=2$ и $EF=a=1$. Точка $M$ - середина $EF$, поэтому $EM = EF/2 = 1/2$.

В прямоугольном треугольнике $SME$ (гипотенуза $SE$, катеты $SM$ и $EM$) по теореме Пифагора:

$SM^2 + EM^2 = SE^2$

$SM^2 = SE^2 - EM^2$

$SM^2 = 2^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$SM^2 = 4 - \frac{1}{4}$

$SM^2 = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}$

$SM = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

3. Вычисление косинуса угла $\angle SMO$:

В прямоугольном треугольнике $SOM$ угол $\angle SMO$ является искомым углом между плоскостями. Косинус этого угла равен отношению прилежащего катета $OM$ к гипотенузе $SM$:

$\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM}$

Подставим найденные значения $OM$ и $SM$:

$\cos(\angle SMO) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}$

$\cos(\angle SMO) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$

$\cos(\angle SMO) = \sqrt{\frac{3}{15}}$

$\cos(\angle SMO) = \sqrt{\frac{1}{5}}$

$\cos(\angle SMO) = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\cos(\angle SMO) = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$