Номер 20, страница 156 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями SBD и SDF.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

Найти:

Косинус угла между плоскостями $SBD$ и $SDF$.

Решение:

1. Установим систему координат. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$.

2. Определим координаты вершин основания. В правильном шестиугольнике сторона $a$ равна радиусу описанной окружности. Поскольку $a=1$, то радиус описанной окружности также равен $1$. Расположим вершину $D$ на положительной оси $Ox$.

Тогда координаты вершин основания будут:

$D = (1, 0, 0)$

$B = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ (угол $120^\circ$ относительно $D$)

$F = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ (угол $-120^\circ$ относительно $D$)

3. Найдем высоту пирамиды $h = SO$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ находится над центром основания $O$. Расстояние от $S$ до любой вершины основания равно длине бокового ребра $l=2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOD$ (с прямым углом в $O$):

$SD^2 = SO^2 + OD^2$

$l^2 = h^2 + a^2$

Подставим известные значения:

$2^2 = h^2 + 1^2$

$4 = h^2 + 1$

$h^2 = 3 \Rightarrow h = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

4. Найдем нормальный вектор к плоскости $SBD$.

Для этого возьмем два вектора, лежащие в плоскости $SBD$, например, $\vec{DS}$ и $\vec{DB}$.

$\vec{DS} = S - D = (0-1, 0-0, \sqrt{3}-0) = (-1, 0, \sqrt{3})$

$\vec{DB} = B - D = (-\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $SBD$ можно найти как векторное произведение $\vec{DS} \times \vec{DB}$:

$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & \sqrt{3} \\ -\frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{vmatrix}$

$\vec{n_1} = \vec{i}(0 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \vec{j}(-1 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot (-\frac{3}{2})) + \vec{k}(-1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot (-\frac{3}{2}))$

$\vec{n_1} = (-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор $\vec{n_1}'$, умноженный на $-2$: $\vec{n_1}' = (3, 3\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

5. Найдем нормальный вектор к плоскости $SDF$.

Возьмем два вектора, лежащие в плоскости $SDF$: $\vec{DS}$ и $\vec{DF}$.

$\vec{DS} = (-1, 0, \sqrt{3})$ (уже найдено)

$\vec{DF} = F - D = (-\frac{1}{2}-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $SDF$ можно найти как векторное произведение $\vec{DS} \times \vec{DF}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & \sqrt{3} \\ -\frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{vmatrix}$

$\vec{n_2} = \vec{i}(0 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \vec{j}(-1 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot (-\frac{3}{2})) + \vec{k}(-1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0 \cdot (-\frac{3}{2}))$

$\vec{n_2} = (\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор $\vec{n_2}'$, умноженный на $2$: $\vec{n_2}' = (3, -3\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

6. Найдем косинус угла $\theta$ между плоскостями $SBD$ и $SDF$. Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Косинус этого угла вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}'|}{||\vec{n_1}'|| \cdot ||\vec{n_2}'||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}'$:

$\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = (3)(3) + (3\sqrt{3})(-3\sqrt{3}) + (\sqrt{3})(\sqrt{3})$

$= 9 - 9 \cdot 3 + 3 = 9 - 27 + 3 = -15$

Вычислим модули векторов $\vec{n_1}'$ и $\vec{n_2}'$:

$||\vec{n_1}'|| = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27 + 3} = \sqrt{39}$

$||\vec{n_2}'|| = \sqrt{3^2 + (-3\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27 + 3} = \sqrt{39}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{|-15|}{\sqrt{39} \cdot \sqrt{39}} = \frac{15}{39}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на $3$:

$\frac{15}{39} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 13} = \frac{5}{13}$

Ответ:

$\frac{5}{13}$