Номер 32, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

32. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями $ACB_1$ и $DFE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна $1$.

Найти:

Косинус угла между плоскостями $ACB_1$ и $DFE_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Так как призма правильная, а длина ребра основания равна $1$, то радиус описанной окружности около основания также равен $1$. Высота призмы равна длине бокового ребра, то есть $1$.

Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (z-координата на 1 больше):

$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Для нахождения косинуса угла между плоскостями найдем векторы нормали к каждой плоскости.

Плоскость $ACB_1$:

Возьмем точки $A(1, 0, 0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем векторы, лежащие в этой плоскости:

$\vec{AC} = C - A = (-\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вектор нормали $\vec{n_1}$ к плоскости $ACB_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AB_1}$:

$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0) - \mathbf{j}(-\frac{3}{2} \cdot 1 - 0) + \mathbf{k}(-\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}))$

$\vec{n_1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{3}{2}\mathbf{j} + (-\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4})\mathbf{k} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{2\sqrt{3}}{4}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства вычислений умножим вектор на $2$: $\vec{n_1}' = (\sqrt{3}, 3, -\sqrt{3})$.

Плоскость $DFE_1$:

Возьмем точки $D(-1, 0, 0)$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем векторы, лежащие в этой плоскости:

$\vec{DF} = F - D = (\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{DE_1} = E_1 - D = (-\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вектор нормали $\vec{n_2}$ к плоскости $DFE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DF} \times \vec{DE_1}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0) - \mathbf{j}(\frac{3}{2} \cdot 1 - 0) + \mathbf{k}(\frac{3}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{1}{2})$

$\vec{n_2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} - \frac{3}{2}\mathbf{j} + (-\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4})\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{2\sqrt{3}}{4}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства вычислений умножим вектор на $-2$: $\vec{n_2}' = (\sqrt{3}, 3, \sqrt{3})$.

Косинус угла $\theta$ между двумя плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}'|}{|\vec{n_1}'| |\vec{n_2}'|}$

Скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = (\sqrt{3})(\sqrt{3}) + (3)(3) + (-\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 3 + 9 - 3 = 9$

Модули векторов:

$|\vec{n_1}'| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 9 + 3} = \sqrt{15}$

$|\vec{n_2}'| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 9 + 3} = \sqrt{15}$

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos \theta = \frac{|9|}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

Ответ:

$\frac{3}{5}$