Страница 89 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через точку:
а) принадлежащую этой плоскости;
б) не принадлежащую этой плоскости?

а) принадлежащую этой плоскости

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $M$, принадлежащая этой плоскости ($M \in \alpha$).Согласно теореме стереометрии, через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну. Проведем через точку $M$ прямую $l$, перпендикулярную плоскости $\alpha$.
По признаку перпендикулярности двух плоскостей, любая плоскость, проходящая через прямую $l$, будет перпендикулярна плоскости $\alpha$.
Через одну прямую можно провести бесконечное множество плоскостей. Представить это можно на примере раскрытой книги: ее переплет — это прямая $l$, а страницы — это плоскости, проходящие через нее.
Поскольку точка $M$ лежит на прямой $l$, все эти бесконечное множество плоскостей будут проходить через точку $M$.
Следовательно, через точку, принадлежащую плоскости, можно провести бесконечно много плоскостей, перпендикулярных данной.

Ответ: бесконечно много.

б) не принадлежащую этой плоскости

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $M$, не принадлежащая этой плоскости ($M \notin \alpha$).Докажем, что такая плоскость может быть только одна.
Существование:Из точки $M$ опустим на плоскость $\alpha$ перпендикуляр $MP$, где $P$ — основание перпендикуляра ($P \in \alpha$). По теореме, такой перпендикуляр существует и он единственен. Прямая $MP$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.В плоскости $\alpha$ проведем через точку $P$ произвольную прямую $a$.Прямые $MP$ и $a$ пересекаются и, следовательно, определяют единственную плоскость $\beta$.Так как плоскость $\beta$ проходит через прямую $MP$, перпендикулярную плоскости $\alpha$, то по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$ также проходит через точку $M$. Таким образом, существование доказано.
Единственность:Докажем от противного. Предположим, что существует другая плоскость $\beta'$, которая также проходит через точку $M$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$.Пусть плоскости $\beta'$ и $\alpha$ пересекаются по прямой $a'$.Согласно свойству перпендикулярных плоскостей, если из точки $M$, принадлежащей плоскости $\beta'$, провести перпендикуляр к линии их пересечения $a'$, то этот перпендикуляр будет также перпендикулярен и всей плоскости $\alpha$.Проведем в плоскости $\beta'$ из точки $M$ перпендикуляр $MK$ к прямой $a'$ ($K \in a'$). Тогда $MK \perp \alpha$.Получается, что из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены два перпендикуляра: $MP$ и $MK$. Но по теореме о перпендикуляре из точки к плоскости, такой перпендикуляр может быть только один.Следовательно, перпендикуляры $MP$ и $MK$ должны совпадать, а значит, точка $K$ совпадает с точкой $P$.Это означает, что любая плоскость, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная $\alpha$, должна содержать прямую $MP$. Поскольку такая плоскость однозначно определяется прямой $MP$ и линией пересечения с плоскостью $\alpha$, которая также должна проходить через точку $P$, то такая плоскость единственна.
Следовательно, через точку, не принадлежащую плоскости, можно провести только одну плоскость, перпендикулярную данной.

Ответ: одну.

Вопросы

1. Что называется двугранным углом?

2. Что называется: а) гранями двугранного угла; б) ребром двугранного угла?

3. Что называется линейным углом двугранного угла?

4. Что называется величиной двугранного угла?

5. Какой двугранный угол называется прямым?

6. Что называется углом между двумя пересекающимися плоскостями?

7. Какие две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными?

8. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей.

1. Что называется двугранным углом?
Двугранным углом называется пространственная фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной общей прямой, и частью пространства, ограниченной этими полуплоскостями. Общая прямая называется ребром двугранного угла, а полуплоскости — его гранями.
Ответ: Фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой и одной из частей пространства, ограниченной этими полуплоскостями.

2. Что называется: а) гранями двугранного угла; б) ребром двугранного угла?
а) Гранями двугранного угла называются полуплоскости, которые образуют этот угол.
б) Ребром двугранного угла называется общая прямая, из которой исходят обе полуплоскости (грани).
Ответ: а) Полуплоскости, образующие двугранный угол. б) Общая прямая, являющаяся границей для двух полуплоскостей, образующих угол.

3. Что называется линейным углом двугранного угла?
Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный двумя лучами, которые перпендикулярны ребру двугранного угла. Эти лучи должны лежать в гранях двугранного угла и иметь общее начало на его ребре. Все линейные углы одного и того же двугранного угла равны между собой.
Ответ: Угол, образованный пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной его ребру.

4. Что называется величиной двугранного угла?
Величиной двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Величина двугранного угла не зависит от выбора точки на ребре для построения линейного угла и находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$.
Ответ: Величина его линейного угла.

5. Какой двугранный угол называется прямым?
Двугранный угол называется прямым, если его величина равна $90^\circ$. Это означает, что его линейный угол является прямым углом.
Ответ: Двугранный угол, величина которого равна $90^\circ$.

6. Что называется углом между двумя пересекающимися плоскостями?
При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется величина наименьшего из этих двугранных углов. Эта величина всегда находится в промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$ включительно.
Ответ: Величина наименьшего из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

7. Какие две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными?
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен $90^\circ$. В этом случае все четыре двугранных угла, образованные этими плоскостями, являются прямыми.
Ответ: Плоскости, угол между которыми равен $90^\circ$.

8. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей.
Признак перпендикулярности двух плоскостей гласит: если одна плоскость проходит через прямую, которая перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. То есть, если плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$, и при этом прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$), то плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($\alpha \perp \beta$).
Ответ: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

17.1. Найдите двугранные углы, образованные соседними гранями куба (рис. 17.11).

Рис. 17.11

17.1. Двугранный угол — это угол между двумя пересекающимися плоскостями. Для нахождения его величины строится линейный угол: к линии пересечения плоскостей в какой-либо её точке восстанавливаются перпендикуляры в каждой из плоскостей. Угол между этими перпендикулярами и есть искомый линейный угол, который по величине равен двугранному углу.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, который показан на рисунке. Возьмём две любые соседние (смежные) грани, например, нижнюю грань $ABCD$ и переднюю грань $ABB_1A_1$.

1. Линией пересечения этих граней (плоскостей) является ребро $AB$.

2. В плоскости грани $ABCD$ выберем прямую, перпендикулярную ребру $AB$ и проходящую через точку $A$. Так как все грани куба — квадраты, то ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AB$. Таким образом, у нас есть перпендикуляр $AD$ к линии пересечения $AB$ в плоскости $ABCD$. ($AD \perp AB$).

3. В плоскости грани $ABB_1A_1$ выберем прямую, перпендикулярную ребру $AB$ и проходящую через ту же точку $A$. Так как грань $ABB_1A_1$ — квадрат, то ребро $A_1A$ перпендикулярно ребру $AB$. Таким образом, у нас есть перпендикуляр $A_1A$ к линии пересечения $AB$ в плоскости $ABB_1A_1$. ($A_1A \perp AB$).

4. Угол между построенными перпендикулярами $AD$ и $A_1A$, то есть угол $\angle A_1AD$, является линейным углом двугранного угла между гранями $ABCD$ и $ABB_1A_1$.

5. По определению куба, его боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, ребро $A_1A$ перпендикулярно плоскости $ABCD$. Следовательно, ребро $A_1A$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$, включая прямую $AD$. Таким образом, $A_1A \perp AD$.

6. Из этого следует, что угол $\angle A_1AD$ является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$.

Поскольку куб — это правильный многогранник, все его двугранные углы равны. Следовательно, двугранный угол, образованный любыми двумя соседними гранями куба, равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.