Страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется углом между наклонной и плоскостью?

2. Какой угол считается углом между прямой, перпендикулярной плоскости, и этой плоскостью?

3. Что называется углом между отрезком и плоскостью?

1. Что называется углом между наклонной и плоскостью?
Пусть дана плоскость $\alpha$ и прямая $a$, которая пересекает эту плоскость в точке $M$, но не перпендикулярна ей. Такая прямая называется наклонной к плоскости $\alpha$. Углом между наклонной и плоскостью называется угол, образованный этой наклонной и её ортогональной проекцией на данную плоскость. Чтобы построить и найти этот угол, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти проекцию наклонной на плоскость. Для этого из любой точки $A$ наклонной, отличной от точки пересечения $M$, опускается перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$.
2. Прямая, проходящая через основание перпендикуляра $H$ и точку пересечения наклонной с плоскостью $M$, и будет являться проекцией наклонной. Обозначим её $a'$.
3. Угол $\phi$ между наклонной $a$ (отрезок $AM$) и её проекцией $a'$ (отрезок $MH$) и есть искомый угол между наклонной и плоскостью. Это угол $\angle AMH$.
Этот угол всегда является острым, то есть его величина находится в пределах $0^\circ < \phi < 90^\circ$.
Ответ: Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее проекцией на эту плоскость.

2. Какой угол считается углом между прямой, перпендикулярной плоскости, и этой плоскостью?
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она по определению перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения. Проекцией такой прямой на плоскость является всего одна точка — точка их пересечения. В этом случае, согласно определению, угол между прямой и плоскостью считается прямым углом.
Ответ: Угол между прямой, перпендикулярной плоскости, и этой плоскостью считается равным $90^\circ$.

3. Что называется углом между отрезком и плоскостью?
Угол между отрезком и плоскостью определяется как угол между прямой, которая содержит этот отрезок, и данной плоскостью. Возможны следующие случаи:
- Если отрезок не параллелен плоскости и не лежит на ней, то прямая, содержащая отрезок, является наклонной к плоскости. Угол между отрезком и плоскостью в этом случае — это угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость.
- Если отрезок параллелен плоскости или лежит в ней, то угол между ним и плоскостью считается равным $0^\circ$.
- Если отрезок перпендикулярен плоскости, то угол между ним и плоскостью считается равным $90^\circ$.
Ответ: Углом между отрезком и плоскостью называется угол между прямой, содержащей этот отрезок, и данной плоскостью.