Номер 15.13, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.13. Докажите, что в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 15.11) перпендикулярны прямые:

а) $AC_1$ и $BE$;

б) $AD_1$ и $CE$;

в) $AB_1$ и $BE_1$.

15.14. Найдите наименьшее место тем.

Для решения задачи введем трехмерную декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ правильной шестиугольной призмы совпадает с началом координат $O(0,0,0)$, а вершина $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$. Пусть сторона основания призмы равна $a$, а высота призмы (длина бокового ребра) равна $h$.

В этой системе координат вершины оснований имеют следующие координаты:

$A(a, 0, 0)$, $B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$, $D(-a, 0, 0)$, $E(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$, $F(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

$A_1(a, 0, h)$, $B_1(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$, $C_1(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$, $D_1(-a, 0, h)$, $E_1(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$, $F_1(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.

а) Докажите, что перпендикулярны прямые $AC_1$ и $BE$.

Докажем перпендикулярность, используя свойства геометрических построений в основании и признак перпендикулярности прямой и плоскости.

1. Рассмотрим проекцию прямой $AC_1$ на плоскость основания $(ABC)$. Этой проекцией является прямая $AC$. Прямая $BE$ также лежит в плоскости основания.

2. Докажем, что прямые $AC$ и $BE$ перпендикулярны в правильном шестиугольнике $ABCDEF$. Пусть $K$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BE$. Основание призмы $ABCDEF$ состоит из шести равносторонних треугольников с общей вершиной в центре $O$. Треугольник $BOC$ является равносторонним, поэтому все его углы равны $60^\circ$. В частности, $\angle OBC = 60^\circ$. В треугольнике $ABC$ стороны $AB=BC=a$ и $\angle ABC = 120^\circ$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $BKC$. В нем $\angle KBC = \angle OBC = 60^\circ$ и $\angle KCB = \angle BCA = 30^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, угол $\angle BKC$ равен: $\angle BKC = 180^\circ - \angle KBC - \angle KCB = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.

4. Это означает, что $AC \perp BE$.

5. Поскольку призма правильная, ее боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, $CC_1 \perp BE$.

6. Прямая $BE$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $CC_1$, лежащим в плоскости $(ACC_1)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BE$ перпендикулярна всей плоскости $(ACC_1)$.

7. Прямая $AC_1$ лежит в плоскости $(ACC_1)$, следовательно, $BE \perp AC_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Докажите, что перпендикулярны прямые $AD_1$ и $CE$.

Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

1. Прямая $AD_1$ является наклонной к плоскости основания $(ABC)$. Прямая $AD$ — ее проекция на эту плоскость. Прямая $CE$ лежит в плоскости основания.

2. Докажем, что проекция $AD$ перпендикулярна прямой $CE$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ большая диагональ $AD$ проходит через центр и является осью симметрии шестиугольника. Вершины $C$ и $E$ симметричны относительно этой оси. Следовательно, отрезок $CE$, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси симметрии $AD$. Таким образом, $AD \perp CE$.

3. По теореме о трех перпендикулярах: если проекция наклонной на плоскость ($AD$) перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости ($CE$), то и сама наклонная ($AD_1$) перпендикулярна этой прямой.

4. Следовательно, $AD_1 \perp CE$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

в) Докажите, что перпендикулярны прямые $AB_1$ и $BE_1$.

Для проверки перпендикулярности скрещивающихся прямых $AB_1$ и $BE_1$ используем метод координат. Найдем направляющие векторы этих прямых и вычислим их скалярное произведение. Прямые перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

1. Направляющий вектор прямой $AB_1$ — это вектор $\vec{AB_1}$:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, h - 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.

2. Направляющий вектор прямой $BE_1$ — это вектор $\vec{BE_1}$:

$\vec{BE_1} = E_1 - B = (-\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (-a, -a\sqrt{3}, h)$.

3. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BE_1}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BE_1} = (-\frac{a}{2}) \cdot (-a) + (\frac{a\sqrt{3}}{2}) \cdot (-a\sqrt{3}) + h \cdot h$

$= \frac{a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} + h^2 = -\frac{2a^2}{2} + h^2 = -a^2 + h^2$.

4. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда $-a^2 + h^2 = 0$, то есть $h^2 = a^2$. Поскольку $a$ и $h$ — длины, они положительны, следовательно, $h=a$.

Таким образом, утверждение о перпендикулярности прямых $AB_1$ и $BE_1$ справедливо не для любой правильной шестиугольной призмы, а только для той, у которой высота равна стороне основания. В общем случае, когда $h \neq a$, эти прямые не перпендикулярны.

Ответ: Утверждение верно только при условии, что высота призмы равна стороне ее основания ($h=a$). В общем случае прямые $AB_1$ и $BE_1$ не являются перпендикулярными.