Номер 16.1, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 16.4) найдите угол между прямой $AB_1$ и плоскостью:

а) $ABC$

б) $BCC_1$

в) $BCD_1$

Рис. 16.4

Для решения задачи введем обозначение: пусть длина ребра куба равна $a$.

а) ABC

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. В данном случае, прямая $AB_1$ является наклонной к плоскости основания $ABC$.

Точка $A$ уже лежит в плоскости $ABC$, значит её проекция совпадает с самой точкой $A$. Чтобы найти проекцию точки $B_1$ на плоскость $ABC$, нужно опустить перпендикуляр из $B_1$ на эту плоскость. В кубе ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, точка $B$ является ортогональной проекцией точки $B_1$ на плоскость $ABC$.

Таким образом, прямая $AB$ является проекцией прямой $AB_1$ на плоскость $ABC$. Искомый угол — это угол между наклонной $AB_1$ и её проекцией $AB$, то есть угол $\angle B_1AB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABB_1$. Поскольку ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости $ABC$, оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $B$. Значит, $B_1B \perp AB$, и треугольник $\triangle ABB_1$ является прямоугольным.

В этом треугольнике катеты $AB$ и $BB_1$ равны ребру куба $a$. Следовательно, $\triangle ABB_1$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы равны $45^\circ$.

Значит, $\angle B_1AB = 45^\circ$.

Это же можно вычислить с помощью тангенса: $\tan(\angle B_1AB) = \frac{BB_1}{AB} = \frac{a}{a} = 1$.

$\angle B_1AB = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

б) BCC₁

Аналогично пункту а), найдем угол между прямой $AB_1$ и плоскостью боковой грани $BCC_1B_1$.

Точка $B_1$ принадлежит плоскости $BCC_1$. Чтобы найти проекцию точки $A$ на эту плоскость, опустим перпендикуляр. Ребро $AB$ перпендикулярно плоскости грани $BCC_1B_1$, так как $AB \perp BC$ и $AB \perp BB_1$. Следовательно, точка $B$ является проекцией точки $A$ на плоскость $BCC_1$.

Проекцией прямой $AB_1$ на плоскость $BCC_1$ является прямая $BB_1$. Искомый угол — это угол между наклонной $AB_1$ и её проекцией $BB_1$, то есть угол $\angle AB_1B$.

Рассмотрим тот же самый прямоугольный треугольник $\triangle ABB_1$ (прямой угол при вершине $B$). В нем катеты $AB = a$ и $BB_1 = a$. Треугольник является равнобедренным, следовательно, его острый угол $\angle AB_1B = 45^\circ$.

С помощью тангенса: $\tan(\angle AB_1B) = \frac{AB}{BB_1} = \frac{a}{a} = 1$.

$\angle AB_1B = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

в) BCD₁

Чтобы найти угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCD_1$, докажем, что данная прямая перпендикулярна этой плоскости. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

В качестве таких прямых выберем прямые $BC$ и $CD_1$, которые лежат в плоскости $BCD_1$ и пересекаются в точке $C$.

1. Докажем перпендикулярность $AB_1$ и $BC$. Ребро $BC$ перпендикулярно всей грани $ABB_1A_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой грани: $BC \perp AB$ и $BC \perp BB_1$. Поскольку прямая $AB_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, то $BC \perp AB_1$.

2. Докажем перпендикулярность $AB_1$ и $CD_1$. Прямая $CD_1$ является диагональю грани $CDD_1C_1$. В кубе грань $CDD_1C_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$. Следовательно, прямая $CD_1$ параллельна диагонали $BA_1$ грани $ABB_1A_1$. Таким образом, вместо перпендикулярности $AB_1$ и $CD_1$ достаточно доказать перпендикулярность $AB_1$ и $BA_1$.

Прямые $AB_1$ и $BA_1$ — это диагонали квадрата $ABB_1A_1$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Значит, $AB_1 \perp BA_1$. А так как $BA_1 \parallel CD_1$, то $AB_1 \perp CD_1$.

Мы доказали, что прямая $AB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $CD_1$) в плоскости $BCD_1$. Следовательно, прямая $AB_1$ перпендикулярна плоскости $BCD_1$.

По определению, угол между прямой и плоскостью, которой она перпендикулярна, равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.