Номер 15.12, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.12. Докажите, что в правильной шестиугольной пирамиде SABCDET (рис. 15.10) диагональ AC основания перпендикулярна скрещивающемуся с ней боковому ребру SB.

Рис. 15.10

Для доказательства перпендикулярности скрещивающихся прямых $AC$ и $SB$ в правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

1. Пусть $O$ — центр правильного шестиугольника $ABCDEF$, который является основанием пирамиды. Поскольку пирамида правильная, ее вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Это означает, что высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. Запишем это как $SO \perp (ABC)$.

2. Прямая $SB$ является наклонной к плоскости основания $(ABC)$, а отрезок $OB$ — ее проекцией на эту плоскость.

3. Согласно теореме о трех перпендикулярах, прямая, лежащая в плоскости (в нашем случае $AC$), перпендикулярна наклонной (в нашем случае $SB$) тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость (в нашем случае $OB$). Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы доказать, что $AC \perp OB$.

4. Рассмотрим основание пирамиды — правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне. Центром описанной окружности является точка $O$. Следовательно, отрезки, соединяющие центр с вершинами, равны стороне шестиугольника: $OA = OB = OC = AB = BC = a$, где $a$ — длина стороны шестиугольника.

5. Рассмотрим четырехугольник $OABC$. Так как все его стороны равны ($OA = AB = BC = CO = a$), то этот четырехугольник является ромбом.

6. Одним из ключевых свойств ромба является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. В ромбе $OABC$ диагоналями являются отрезки $AC$ и $OB$. Следовательно, $AC \perp OB$.

7. Мы доказали, что прямая $AC$ в плоскости основания перпендикулярна проекции $OB$ наклонной $SB$. По теореме о трех перпендикулярах из этого следует, что прямая $AC$ перпендикулярна и самой наклонной $SB$.

Таким образом, доказано, что диагональ основания $AC$ перпендикулярна скрещивающемуся с ней боковому ребру $SB$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.