gdz.top
Номер 15.6, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков
Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-1147-1
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава II. Угол в пространстве. Расстояние в пространстве. Параграф 15. Теорема о трех перпендикулярах - номер 15.6, страница 82.
№15.5
№15.6 (с. 82)
Условия. №15.6 (с. 82)
15.6. Отрезки двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, равны 15 см и 20 см. Ортогональная проекция одного из этих отрезков равна 16 см. Найдите ортогональную проекцию другого отрезка.
Решение. №15.6 (с. 82)
Решение 2. №15.6 (с. 82)
Пусть из точки $A$, не лежащей в плоскости $\alpha$, проведены две наклонные $AB$ и $AC$. По условию задачи, их длины равны $L_1 = 15$ см и $L_2 = 20$ см.
Пусть $H$ — это основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Отрезок $AH$ является перпендикуляром к плоскости, и его длина $h$ одинакова для обеих наклонных.
Отрезки $HB$ и $HC$ являются ортогональными проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$. Обозначим их длины как $p_1$ и $p_2$ соответственно.
Образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ (с прямым углом при вершине $H$). По теореме Пифагора для этих треугольников:
$AB^2 = AH^2 + HB^2 \implies L_1^2 = h^2 + p_1^2$
$AC^2 = AH^2 + HC^2 \implies L_2^2 = h^2 + p_2^2$
Подставим известные значения длин наклонных:
$15^2 = h^2 + p_1^2 \implies 225 = h^2 + p_1^2$
$20^2 = h^2 + p_2^2 \implies 400 = h^2 + p_2^2$
В условии сказано, что ортогональная проекция одного из отрезков равна 16 см. В любом прямоугольном треугольнике катет всегда короче гипотенузы.
Проверим, какому из отрезков может соответствовать проекция длиной 16 см:
Для наклонной $L_1 = 15$ см проекция не может быть 16 см, так как $16 > 15$.
Следовательно, проекция длиной 16 см соответствует наклонной $L_2 = 20$ см, так как $16 < 20$. Итак, $p_2 = 16$ см.
Теперь найдем общую высоту $h$ из второго соотношения:
$20^2 = h^2 + 16^2$
$400 = h^2 + 256$
$h^2 = 400 - 256$
$h^2 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см.
Зная высоту $h = 12$ см, мы можем найти длину другой проекции $p_1$ из первого соотношения:
$15^2 = h^2 + p_1^2$
$225 = 12^2 + p_1^2$
$225 = 144 + p_1^2$
$p_1^2 = 225 - 144$
$p_1^2 = 81$
$p_1 = \sqrt{81} = 9$ см.
Ответ: 9 см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 15.6 расположенного на странице 82 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №15.6 (с. 82), авторов: Смирнов (Виктор Анатольевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.