Номер 15.11, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 15. Теорема о трех перпендикулярах. Глава II. Угол в пространстве. Расстояние в пространстве - номер 15.11, страница 83.

Условия.

15.11. Докажите, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 15.7) перпендикулярны прямые:

а) $AB_1$ и $BD_1$;

б) $AC_1$ и $BD$;

в) $AD_1$ и $CA_1$.

Рис. 15.7

Решение.

Решение 2.

Для доказательства перпендикулярности прямых воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин куба будут следующими:

$A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$

$A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$

Две прямые в пространстве перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю.

а) $AB_1$ и $BD_1$

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $AB_1$ и $BD_1$.

Направляющий вектор для прямой $AB_1$ — это вектор $\vec{AB_1}$. Его координаты: $\vec{AB_1} = B_1 - A = (a-0, 0-0, a-0) = (a, 0, a)$.

Направляющий вектор для прямой $BD_1$ — это вектор $\vec{BD_1}$. Его координаты: $\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-a, a-0, a-0) = (-a, a, a)$.

Теперь вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BD_1} = a \cdot (-a) + 0 \cdot a + a \cdot a = -a^2 + 0 + a^2 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{BD_1}$ перпендикулярны. Следовательно, прямые $AB_1$ и $BD_1$ также перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) $AC_1$ и $BD$

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $AC_1$ и $BD$.

Направляющий вектор для прямой $AC_1$ — это вектор $\vec{AC_1}$. Его координаты: $\vec{AC_1} = C_1 - A = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$.

Направляющий вектор для прямой $BD$ — это вектор $\vec{BD}$. Его координаты: $\vec{BD} = D - B = (0-a, a-0, 0-0) = (-a, a, 0)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{BD} = a \cdot (-a) + a \cdot a + a \cdot 0 = -a^2 + a^2 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{BD}$ перпендикулярны, а значит и прямые $AC_1$ и $BD$ перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) $AD_1$ и $CA_1$

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $AD_1$ и $CA_1$.

Направляющий вектор для прямой $AD_1$ — это вектор $\vec{AD_1}$. Его координаты: $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$.

Направляющий вектор для прямой $CA_1$ — это вектор $\vec{CA_1}$. Его координаты: $\vec{CA_1} = A_1 - C = (0-a, 0-a, a-0) = (-a, -a, a)$.

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{AD_1} \cdot \vec{CA_1} = 0 \cdot (-a) + a \cdot (-a) + a \cdot a = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{CA_1}$ перпендикулярны. Следовательно, прямые $AD_1$ и $CA_1$ также перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.