Номер 15.14, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.14. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, обладающих определенным свойством. В данном случае свойство точки — быть равноудаленной от двух данных точек.

Пусть даны две различные точки A и B. Мы ищем множество всех точек M, для которых выполняется равенство длин отрезков $MA = MB$.

Докажем, что искомое ГМТ является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Напомним, что серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину этого отрезка и перпендикулярная ему.

Доказательство необходимо провести в две стороны.

1. Докажем, что любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.

Пусть прямая m — серединный перпендикуляр к отрезку AB, и пусть C — точка их пересечения. По определению серединного перпендикуляра, C является серединой отрезка AB (то есть $AC = CB$) и прямая m перпендикулярна отрезку AB (то есть $\angle ACB = 90^\circ$).

Возьмем любую точку M на прямой m. Рассмотрим треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$.
В этих треугольниках:
• сторона MC — общая;
• сторона AC равна стороне CB, так как C — середина AB;
• угол $\angle MCA$ равен углу $\angle MCB$ ($90^\circ$), так как $m \perp AB$.

Следовательно, треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Так как треугольники равны, то равны и их соответствующие стороны: $MA = MB$.

Таким образом, любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от его концов.

2. Докажем, что любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.

Пусть точка M такова, что $MA = MB$. Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$.

Поскольку $MA = MB$, треугольник $\triangle AMB$ является равнобедренным с основанием AB. Проведем в этом треугольнике медиану MC к основанию AB.

По определению медианы, точка C является серединой отрезка AB.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MC \perp AB$.

Таким образом, точка M лежит на прямой MC, которая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна ему. Это и есть серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Из двух доказанных утверждений следует, что искомое геометрическое место точек полностью совпадает с серединным перпендикуляром.

Ответ: Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, — это прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину (серединный перпендикуляр к этому отрезку).