Номер 15.8, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.8. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 15.7) изобразите ортогональную проекцию на плоскость $ACC_1$ отрезка:

а) $BB_1$;

б) $BC_1$;

в) $BD_1$.

Рис. 15.7

Ортогональная проекция отрезка на плоскость — это отрезок, соединяющий ортогональные проекции его концов на эту плоскость. Для решения задачи найдем проекции соответствующих вершин куба на диагональную плоскость $ACC_1$.

Плоскость проекции $ACC_1$ содержит диагональ основания $AC$ и боковое ребро $CC_1$. Также она содержит вершины $A, C, C_1, A_1$. Любая точка, принадлежащая плоскости, проецируется сама в себя. Таким образом, проекциями точек $A, C, C_1, A_1$ на плоскость $ACC_1$ являются сами эти точки.

Для нахождения проекций других вершин опустим из них перпендикуляры на плоскость $ACC_1$.

• Проекция точки B: В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, $BO \perp AC$. Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $CC_1 \perp BO$. Поскольку прямая $BO$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $CC_1$) в плоскости $ACC_1$, то $BO$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1$. Таким образом, точка $O$ (центр грани $ABCD$) является ортогональной проекцией точки $B$ на плоскость $ACC_1$.
• Проекция точки D: Аналогично, прямая $DO$ перпендикулярна плоскости $ACC_1$, поэтому проекцией точки $D$ является точка $O$.
• Проекция точек $B_1$ и $D_1$: Рассматривая верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$ и точку $O_1$ как центр этой грани (точка пересечения диагоналей $A_1C_1$ и $B_1D_1$), аналогично доказывается, что ортогональной проекцией точек $B_1$ и $D_1$ на плоскость $ACC_1$ является точка $O_1$.

Теперь найдем проекции заданных отрезков.

а) $BB_1$

Концами отрезка являются точки $B$ и $B_1$. Проекцией точки $B$ на плоскость $ACC_1$ является точка $O$. Проекцией точки $B_1$ на эту же плоскость является точка $O_1$. Следовательно, ортогональной проекцией отрезка $BB_1$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть отрезок $OO_1$.

Ответ: отрезок $OO_1$.

б) $BC_1$

Концами отрезка являются точки $B$ и $C_1$. Проекцией точки $B$ на плоскость $ACC_1$ является точка $O$. Точка $C_1$ лежит в плоскости проекции, поэтому она проецируется сама в себя. Следовательно, ортогональной проекцией отрезка $BC_1$ является отрезок $OC_1$.

Ответ: отрезок $OC_1$.

в) $BD_1$

Концами отрезка являются точки $B$ и $D_1$. Проекцией точки $B$ на плоскость $ACC_1$ является точка $O$. Проекцией точки $D_1$ на эту же плоскость является точка $O_1$. Следовательно, ортогональной проекцией отрезка $BD_1$ является отрезок $OO_1$.

Ответ: отрезок $OO_1$.