Страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.1. Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр $A A'$ и наклонная $AB$. Найдите ортогональную проекцию отрезка $AB$, если $AB = 37 \text{ см}$, $A A' = 35 \text{ см}$.

15.1. Пусть $\alpha$ — данная плоскость. По условию, из точки A к плоскости $\alpha$ проведен перпендикуляр AA' и наклонная AB. Это означает, что точка A' является основанием перпендикуляра, а точка B — основанием наклонной, и обе точки (A' и B) лежат в плоскости $\alpha$.
Ортогональной проекцией отрезка AB на плоскость $\alpha$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть точек A и B, на эту плоскость.
Проекцией точки A на плоскость $\alpha$ является точка A'.
Поскольку точка B уже лежит в плоскости $\alpha$, ее проекцией на эту плоскость является сама точка B.
Следовательно, искомая ортогональная проекция отрезка AB — это отрезок A'B.
Рассмотрим треугольник $\triangle AA'B$. Так как AA' — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а отрезок A'B лежит в этой плоскости, то $AA' \perp A'B$. Таким образом, треугольник $\triangle AA'B$ является прямоугольным с прямым углом при вершине A'.
В этом треугольнике:
• AB — гипотенуза (длина наклонной), $AB = 37$ см.
• AA' — катет (длина перпендикуляра), $AA' = 35$ см.
• A'B — второй катет (длина проекции), которую необходимо найти.
По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$AB^2 = AA'^2 + A'B^2$
Выразим отсюда квадрат искомого катета A'B:
$A'B^2 = AB^2 - AA'^2$
Подставим числовые значения:
$A'B^2 = 37^2 - 35^2$
Для удобства вычислений применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$A'B^2 = (37 - 35)(37 + 35) = 2 \cdot 72 = 144$
Теперь найдем длину A'B, извлекая квадратный корень:
$A'B = \sqrt{144} = 12$ (см)
Ответ: 12 см.

15.2. Из точки $A$ к данной плоскости проведены перпендикуляр $AA'$ и наклонная $AB$. Найдите отрезок $AB$, если $AA' = 6$ см, $\angle A'AB = 60^\circ$.

По условию задачи, из точки A, не лежащей в данной плоскости, проведены перпендикуляр AA' и наклонная AB к этой плоскости. Точки A' и B лежат в плоскости.

Поскольку AA' — это перпендикуляр к плоскости, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через его основание A'. В частности, AA' перпендикулярен прямой A'B. Следовательно, треугольник $ΔAA'B$ является прямоугольным с прямым углом при вершине A' ($∠AA'B = 90°$).

В этом прямоугольном треугольнике нам известны:
- катет AA' (перпендикуляр), его длина $AA' = 6$ см.
- острый угол $∠A'AB = 60°$, который является углом между наклонной AB и перпендикуляром AA'.
Нам необходимо найти длину гипотенузы AB (наклонная).

В прямоугольном треугольнике $ΔAA'B$ катет AA' является прилежащим к углу $∠A'AB$. Связь между прилежащим катетом, гипотенузой и углом между ними выражается через косинус:
$cos(∠A'AB) = \frac{AA'}{AB}$

Подставим в эту формулу известные нам значения:
$cos(60°) = \frac{6}{AB}$

Известно, что косинус 60 градусов равен $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2} = \frac{6}{AB}$

Теперь выразим из этого равенства длину AB:
$AB = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: $12$ см.

15.3. Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр $AA'$ и наклонная $AB$. Найдите отрезок $AA'$, если $AB = 2\sqrt{10}\text{ см}$, $A'B = 3AA'$.

15.3. Рассмотрим треугольник $\triangle$AA'B. Поскольку AA' — перпендикуляр к плоскости, в которой лежит отрезок A'B, то угол $\angle$AA'B является прямым, то есть $\triangle$AA'B — прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике:

• AA' — катет (перпендикуляр).
• A'B — катет (проекция наклонной на плоскость).
• AB — гипотенуза (наклонная).

По условию задачи нам даны:

• Длина гипотенузы AB = $2\sqrt{10}$ см.
• Соотношение между катетами: A'B = 3AA'.

Пусть длина катета AA' равна $x$ см. Тогда длина катета A'B будет равна $3x$ см.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$AB^2 = AA'^2 + A'B^2$

Подставим известные значения и выражения в эту формулу:

$(2\sqrt{10})^2 = x^2 + (3x)^2$

Теперь решим полученное уравнение:

$4 \cdot 10 = x^2 + 9x^2$

$40 = 10x^2$

Разделим обе части уравнения на 10:

$x^2 = 4$

Так как длина отрезка может быть только положительным числом, находим $x$:

$x = \sqrt{4} = 2$

Следовательно, длина отрезка AA' равна 2 см.

Ответ: 2 см.

15.4. На какое расстояние следует отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы, длина которой равна 13 м, чтобы верхний ее конец оказался на высоте 12 м?

15.4. Для решения этой задачи мы можем представить ситуацию в виде прямоугольного треугольника. Лестница будет гипотенузой, стена дома — одним катетом, а расстояние от стены до основания лестницы — другим катетом.

Дано:

Длина гипотенузы (длина лестницы) $c = 13$ м.

Длина одного катета (высота на стене) $a = 12$ м.

Найти нужно длину второго катета $b$ (расстояние от стены).

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим известные нам значения в формулу:

$12^2 + b^2 = 13^2$

Вычислим значения квадратов:

$144 + b^2 = 169$

Теперь найдем $b^2$, вычитая 144 из обеих частей уравнения:

$b^2 = 169 - 144$

$b^2 = 25$

Чтобы найти $b$, извлечем квадратный корень из 25:

$b = \sqrt{25}$

$b = 5$ м

Следовательно, нижний конец лестницы следует отодвинуть от стены дома на 5 метров. Ответ: 5 м.

15.5. Какой длины должна быть лестница, чтобы она достала до окна дома на высоте 8 м, если ее нижний конец отстоит от дома на 6 м?

15.5. Данную ситуацию можно смоделировать с помощью прямоугольного треугольника, где:
- стена дома и земля образуют прямой угол;
- высота до окна — это один катет треугольника ($a$);
- расстояние от основания дома до нижнего конца лестницы — это второй катет ($b$);
- сама лестница — это гипотенуза треугольника ($c$).

По условию задачи нам даны длины двух катетов:
$a = 8$ м
$b = 6$ м

Чтобы найти длину лестницы (гипотенузу $c$), мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$c^2 = a^2 + b^2$

Подставим известные значения в формулу:
$c^2 = 8^2 + 6^2$

Вычислим квадраты чисел:
$c^2 = 64 + 36$

Сложим полученные значения:
$c^2 = 100$

Теперь найдем длину гипотенузы $c$, извлекая квадратный корень из 100:
$c = \sqrt{100}$
$c = 10$ м

Таким образом, длина лестницы должна быть 10 метров.
Ответ: 10 м.

15.6. Отрезки двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, равны 15 см и 20 см. Ортогональная проекция одного из этих отрезков равна 16 см. Найдите ортогональную проекцию другого отрезка.

Пусть из точки $A$, не лежащей в плоскости $\alpha$, проведены две наклонные $AB$ и $AC$. По условию задачи, их длины равны $L_1 = 15$ см и $L_2 = 20$ см.

Пусть $H$ — это основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Отрезок $AH$ является перпендикуляром к плоскости, и его длина $h$ одинакова для обеих наклонных.

Отрезки $HB$ и $HC$ являются ортогональными проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$. Обозначим их длины как $p_1$ и $p_2$ соответственно.

Образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ (с прямым углом при вершине $H$). По теореме Пифагора для этих треугольников:
$AB^2 = AH^2 + HB^2 \implies L_1^2 = h^2 + p_1^2$
$AC^2 = AH^2 + HC^2 \implies L_2^2 = h^2 + p_2^2$

Подставим известные значения длин наклонных:
$15^2 = h^2 + p_1^2 \implies 225 = h^2 + p_1^2$
$20^2 = h^2 + p_2^2 \implies 400 = h^2 + p_2^2$

В условии сказано, что ортогональная проекция одного из отрезков равна 16 см. В любом прямоугольном треугольнике катет всегда короче гипотенузы.
Проверим, какому из отрезков может соответствовать проекция длиной 16 см:
Для наклонной $L_1 = 15$ см проекция не может быть 16 см, так как $16 > 15$.
Следовательно, проекция длиной 16 см соответствует наклонной $L_2 = 20$ см, так как $16 < 20$. Итак, $p_2 = 16$ см.

Теперь найдем общую высоту $h$ из второго соотношения:
$20^2 = h^2 + 16^2$
$400 = h^2 + 256$
$h^2 = 400 - 256$
$h^2 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Зная высоту $h = 12$ см, мы можем найти длину другой проекции $p_1$ из первого соотношения:
$15^2 = h^2 + p_1^2$
$225 = 12^2 + p_1^2$
$225 = 144 + p_1^2$
$p_1^2 = 225 - 144$
$p_1^2 = 81$
$p_1 = \sqrt{81} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

15.7. Точки $A$, $B$, $C$ расположены на одной прямой, $A'$, $B'$, $C'$ — их соответствующие ортогональные проекции, $AB = 5$, $BC = 10$, $A'C' = 12$. Найдите $A'B'$ и $B'C'$.

Пусть точки A, B, и C лежат на прямой $l$, а их ортогональные проекции A', B', и C' — на прямой $m$. Длина проекции отрезка на прямую равна произведению длины отрезка на модуль косинуса угла между прямой, содержащей отрезок, и прямой проекции. Из этого следует, что отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению длин самих отрезков.

$ \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} $

Так как точки A, B, C расположены на одной прямой, возможны три варианта их взаимного расположения. Рассмотрим каждый из них.

Случай 1: Точка B лежит между точками A и C.

В этом случае длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC.

$AC = AB + BC = 5 + 10 = 15$.

При ортогональном проецировании порядок точек сохраняется, поэтому точка B' будет лежать между точками A' и C'. Следовательно, длина проекции A'C' равна сумме длин проекций A'B' и B'C'.

$A'C' = A'B' + B'C' = 12$.

Воспользуемся свойством пропорциональности длин отрезков и их проекций:

$ \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} $

Подставим известные значения длин AB и BC:

$ \frac{A'B'}{5} = \frac{B'C'}{10} $

Из этой пропорции следует, что $B'C' = 2 \cdot A'B'$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $A'B' + B'C' = 12$

2) $B'C' = 2 \cdot A'B'$

Подставим выражение для $B'C'$ из второго уравнения в первое:

$A'B' + 2 \cdot A'B' = 12$

$3 \cdot A'B' = 12$

$A'B' = \frac{12}{3} = 4$.

Теперь найдем длину $B'C'$:

$B'C' = 2 \cdot A'B' = 2 \cdot 4 = 8$.

Проверим: $A'B' + B'C' = 4 + 8 = 12$, что соответствует условию. Этот случай является возможным решением.

Случай 2: Точка A лежит между точками B и C.

В этом случае $BC = BA + AC$. Тогда длина отрезка AC равна:

$AC = BC - AB = 10 - 5 = 5$.

Длина проекции отрезка ($A'C'$) не может быть больше длины самого отрезка ($AC$), поскольку $A'C' = AC \cdot |\cos(\alpha)|$, а значение $|\cos(\alpha)|$ не может быть больше 1.

По условию $A'C' = 12$, а мы вычислили, что $AC = 5$. Так как $12 > 5$, этот случай невозможен.

Случай 3: Точка C лежит между точками A и B.

В этом случае $AB = AC + CB$. Тогда длина отрезка AC равна:

$AC = AB - BC = 5 - 10 = -5$.

Длина отрезка не может быть отрицательной величиной, следовательно, этот случай также невозможен.

Таким образом, единственно возможный вариант расположения точек — B находится между A и C.

Ответ: $A'B' = 4$, $B'C' = 8$.

15.8. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 15.7) изобразите ортогональную проекцию на плоскость $ACC_1$ отрезка:

а) $BB_1$;

б) $BC_1$;

в) $BD_1$.

Рис. 15.7

Ортогональная проекция отрезка на плоскость — это отрезок, соединяющий ортогональные проекции его концов на эту плоскость. Для решения задачи найдем проекции соответствующих вершин куба на диагональную плоскость $ACC_1$.

Плоскость проекции $ACC_1$ содержит диагональ основания $AC$ и боковое ребро $CC_1$. Также она содержит вершины $A, C, C_1, A_1$. Любая точка, принадлежащая плоскости, проецируется сама в себя. Таким образом, проекциями точек $A, C, C_1, A_1$ на плоскость $ACC_1$ являются сами эти точки.

Для нахождения проекций других вершин опустим из них перпендикуляры на плоскость $ACC_1$.

• Проекция точки B: В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, $BO \perp AC$. Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $CC_1 \perp BO$. Поскольку прямая $BO$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $CC_1$) в плоскости $ACC_1$, то $BO$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1$. Таким образом, точка $O$ (центр грани $ABCD$) является ортогональной проекцией точки $B$ на плоскость $ACC_1$.
• Проекция точки D: Аналогично, прямая $DO$ перпендикулярна плоскости $ACC_1$, поэтому проекцией точки $D$ является точка $O$.
• Проекция точек $B_1$ и $D_1$: Рассматривая верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$ и точку $O_1$ как центр этой грани (точка пересечения диагоналей $A_1C_1$ и $B_1D_1$), аналогично доказывается, что ортогональной проекцией точек $B_1$ и $D_1$ на плоскость $ACC_1$ является точка $O_1$.

Теперь найдем проекции заданных отрезков.

а) $BB_1$

Концами отрезка являются точки $B$ и $B_1$. Проекцией точки $B$ на плоскость $ACC_1$ является точка $O$. Проекцией точки $B_1$ на эту же плоскость является точка $O_1$. Следовательно, ортогональной проекцией отрезка $BB_1$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть отрезок $OO_1$.

Ответ: отрезок $OO_1$.

б) $BC_1$

Концами отрезка являются точки $B$ и $C_1$. Проекцией точки $B$ на плоскость $ACC_1$ является точка $O$. Точка $C_1$ лежит в плоскости проекции, поэтому она проецируется сама в себя. Следовательно, ортогональной проекцией отрезка $BC_1$ является отрезок $OC_1$.

Ответ: отрезок $OC_1$.

в) $BD_1$

Концами отрезка являются точки $B$ и $D_1$. Проекцией точки $B$ на плоскость $ACC_1$ является точка $O$. Проекцией точки $D_1$ на эту же плоскость является точка $O_1$. Следовательно, ортогональной проекцией отрезка $BD_1$ является отрезок $OO_1$.

Ответ: отрезок $OO_1$.