Страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.5. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 14.7) найдите расстояние между прямыми $AC_1$ и $BC$.

Рис. 14.7

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $BC$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$ и осями, направленными вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$. Так как куб единичный, его ребро равно 1.

В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты:

$A(1, 0, 0)$, $B(1, 1, 0)$, $C(0, 1, 0)$, $D(0, 0, 0)$, $C_1(0, 1, 1)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой. Найдем расстояние от прямой $BC$ до плоскости $\alpha$, которая проходит через прямую $AC_1$ и параллельна прямой $BC$.

Поскольку ребро $BC$ параллельно ребру $AD$ (так как $ABCD$ — квадрат), то прямая $BC$ параллельна плоскости $(ADC_1)$, которая содержит прямую $AD$ и точку $C_1$. Прямая $AC_1$ также лежит в этой плоскости, так как проходит через точки $A$ и $C_1$, которые определяют эту плоскость вместе с точкой $D$. Таким образом, искомое расстояние равно расстоянию от любой точки прямой $BC$ (например, точки $B$) до плоскости $(ADC_1)$.

Составим уравнение плоскости $(ADC_1)$. Общий вид уравнения плоскости: $ax + by + cz + d = 0$.

1. Так как плоскость проходит через начало координат $D(0, 0, 0)$, при подстановке координат в уравнение получаем $d=0$.

2. Плоскость проходит через точку $A(1, 0, 0)$. Подставляем ее координаты в уравнение $ax + by + cz = 0$: $a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = 0$, откуда $a=0$.

3. Плоскость проходит через точку $C_1(0, 1, 1)$. Подставляем ее координаты в уравнение $by + cz = 0$: $b \cdot 1 + c \cdot 1 = 0$, откуда $b = -c$.

Положим $c = -1$, тогда $b = 1$. Уравнение плоскости $(ADC_1)$ принимает вид $y - z = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(1, 1, 0)$ до плоскости $y - z = 0$ по формуле расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для плоскости $0x + 1y - 1z + 0 = 0$ и точки $B(1, 1, 0)$ имеем:

$\rho = \frac{|0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

14.6. У правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 14.8) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC_1$.

Рис. 14.8

14.6. По условию задачи, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основания призмы ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) являются равносторонними треугольниками со стороной 1, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований и их длина также равна 1. Требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми $AA_1$ и $BC_1$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, которая проходит через вторую прямую и параллельна первой. Рассмотрим плоскость боковой грани $BCC_1B_1$. Прямая $BC_1$ лежит в этой плоскости. Прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$, так как это боковые ребра прямой призмы. Поскольку прямая $BB_1$ принадлежит плоскости $(BCC_1B_1)$, то и прямая $AA_1$ параллельна этой плоскости.

Таким образом, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $AA_1$ и $BC_1$ равно расстоянию от прямой $AA_1$ до плоскости $(BCC_1B_1)$. Это расстояние можно найти как длину перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой $AA_1$ на плоскость $(BCC_1B_1)$. Выберем точку $A$ и найдем расстояние от нее до плоскости $(BCC_1B_1)$.

Проведем в плоскости основания $ABC$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Докажем, что $AH$ является перпендикуляром к плоскости $(BCC_1B_1)$.
1. По построению, $AH \perp BC$, так как $AH$ — высота в треугольнике $ABC$.
2. Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ — прямая, ее боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AH$. Таким образом, $AH \perp BB_1$.
Прямые $BC$ и $BB_1$ пересекаются в точке $B$ и определяют плоскость $(BCC_1B_1)$. Поскольку прямая $AH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, она перпендикулярна и самой плоскости $(BCC_1B_1)$.

Следовательно, длина отрезка $AH$ и есть искомое расстояние. Треугольник $ABC$ является равносторонним со стороной $a=1$. Высота $AH$ в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставляя значение $a=1$, получаем:
$AH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

14.7. У правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ (рис. 14.9) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AA_1$ и $B_1 C_1$;

б) $AA_1$ и $C_1 D_1$;

в) $AA_1$ и $CD_1$;

г) $AA_1$ и $DE_1$;

д) $AA_1$ и $BD_1$.

В условии задачи дана правильная шестиугольная призма, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основания призмы ($ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$) являются правильными шестиугольниками со стороной 1, а боковые ребра ($AA_1, BB_1$ и т.д.) перпендикулярны основаниям и равны 1.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми воспользуемся методом проекций. Так как призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, расстояние между прямой $AA_1$ и любой другой скрещивающейся с ней прямой $L$ равно расстоянию от точки $A$ (которая является проекцией всей прямой $AA_1$ на плоскость основания) до проекции прямой $L$ на ту же плоскость основания $ABCDEF$.

Вспомним свойства правильного шестиугольника со стороной $a=1$:

• Все внутренние углы равны $120^\circ$.
• Малая диагональ (соединяющая вершины через одну, например $AC$) имеет длину $a\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
• Большая диагональ (соединяющая противоположные вершины, например $AD$) имеет длину $2a = 2$.
• Противоположные стороны параллельны (например, $AB \parallel DE$).

а) AA₁ и BC₁
Проекцией прямой $AA_1$ на плоскость основания $ABCDEF$ является точка $A$. Проекцией прямой $BC_1$ на эту же плоскость является прямая $BC$. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки $A$ до прямой, содержащей отрезок $BC$.В плоскости основания рассмотрим треугольник $ABC$. Угол $\angle ABC = 120^\circ$. Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ — это длина высоты, опущенной из вершины $A$ на прямую $BC$. Эта высота $h$ может быть найдена как $h = AB \cdot \sin(180^\circ - \angle ABC) = AB \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) AA₁ и C₁D₁
Проекцией прямой $AA_1$ на плоскость основания является точка $A$. Проекцией прямой $C_1D_1$ является прямая $CD$. Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $CD$ в плоскости основания.В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ сторона $CD$ параллельна стороне $AF$. Поскольку точка $A$ лежит на прямой $AF$, расстояние от точки $A$ до прямой $CD$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AF$ и $CD$. Это расстояние равно сумме длин двух апофем (высот равносторонних треугольников, из которых состоит шестиугольник), проведенных из центра шестиугольника к сторонам $AF$ и $CD$. Длина апофемы равна $\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, расстояние между прямыми $AF$ и $CD$ равно $2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

в) AA₁ и CD₁
Проекцией прямой $AA_1$ на плоскость основания является точка $A$. Проекцией прямой $CD_1$ является прямая $CD$. Задача сводится к нахождению расстояния от точки $A$ до прямой $CD$. Это в точности та же задача, что и в пункте б).
Ответ: $\sqrt{3}$.

г) AA₁ и DE₁
Проекцией прямой $AA_1$ на плоскость основания является точка $A$. Проекцией прямой $DE_1$ является прямая $DE$. Искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $DE$.В правильном шестиугольнике сторона $DE$ параллельна стороне $AB$. Так как точка $A$ лежит на прямой $AB$, расстояние от точки $A$ до прямой $DE$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $DE$. Аналогично пункту б), это расстояние равно $a\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

д) AA₁ и BD₁
Проекцией прямой $AA_1$ на плоскость основания является точка $A$. Проекцией прямой $BD_1$ является прямая $BD$. Задача сводится к нахождению расстояния от точки $A$ до прямой $BD$.Рассмотрим треугольник $ABD$ в плоскости основания. Его стороны:

• $AB = 1$ (сторона шестиугольника)
• $AD = 2$ (большая диагональ шестиугольника)
• $BD = \sqrt{3}$ (малая диагональ шестиугольника)

14.8. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 14.10). Найдите расстояние между прямыми:

а) $AA_2$ и $B_1C_1$;

б) $AA_2$ и $A_1D_1$;

в) $AB_1$ и $CC_1$;

г) $AB$ и $D_1C_2$;

д) $A_2B_2$ и $CC_1$.

Для решения задачи введем правую декартову систему координат. Поместим начало координат в точку $A$, ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — в направлении, параллельном ребру $A_2D_2$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_2$.

Так как по условию все грани многогранника являются многоугольниками с прямыми углами, все ребра, сходящиеся в одной вершине, взаимно перпендикулярны. Это позволяет нам определить координаты всех вершин на основе длин ребер, указанных на рисунке:

• $A = (0, 0, 0)$
• Из $AB = 2$ и $AB || Ox$ следует, что $B = (2, 0, 0)$.
• Из $AA_2 = 2$ и $AA_2 || Oz$ следует, что $A_2 = (0, 0, 2)$.
• Из $A_2D_2 = 2$ и $A_2D_2 || Oy$ следует, что $D_2 = (0, 2, 2)$.
• Из $D_2C_2 = 1$ и $D_2C_2 || Ox$ следует, что $C_2 = (1, 2, 2)$.
• Из $C_1C_2 = 1$ и $C_1C_2 || Oz$ следует, что $C_1 = (1, 2, 1)$.
• Так как ребро $CC_1$ должно быть вертикальным (параллельным $Oz$), а точка $C$ лежит в основной плоскости ($z=0$), то $C = (1, 2, 0)$.
• Из $B_1C_1 = 1$ (поскольку грань $B_1C_1C_2D_2(...)$ является прямоугольником в развертке) и $B_1C_1 || Ox$ следует, что $B_1 = (0, 2, 1)$.
• Точка $D_1$ лежит в основной плоскости ($z=0$) и соединена ребром с $B_1$. Если $B_1D_1$ — вертикальное ребро, то $D_1$ имеет те же координаты $x$ и $y$, что и $B_1$. Таким образом, $D_1 = (0, 2, 0)$.

Проверим соответствие полученных координат оставшемуся размеру $BC=2$. Расстояние между точками $B(2,0,0)$ и $C(1,2,0)$ равно $\sqrt{(2-1)^2 + (0-2)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$. Это не соответствует значению 2, указанному на рисунке. Данная несостыковка означает наличие ошибки в условии задачи (в числовых данных на рисунке). Будем исходить из того, что все размеры, кроме $BC$, верны, так как они образуют непротиворечивую систему. Таким образом, мы будем использовать вычисленные выше координаты.

а) AA₂ и B₁C₁

Прямая $AA_2$ проходит через точки $A(0,0,0)$ и $A_2(0,0,2)$. Эта прямая совпадает с осью $Oz$. Ее направляющий вектор $\vec{u} = (0,0,1)$.

Прямая $B_1C_1$ проходит через точки $B_1(0,2,1)$ и $C_1(1,2,1)$. Ее направляющий вектор $\vec{v} = \vec{B_1C_1} = (1-0, 2-2, 1-1) = (1,0,0)$.

Прямые $AA_2$ и $B_1C_1$ скрещивающиеся. Расстояние между ними можно найти как расстояние между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые. Вектор нормали к этим плоскостям можно найти как векторное произведение направляющих векторов: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (0,0,1) \times (1,0,0) = (0,1,0)$.

Расстояние равно проекции вектора, соединяющего любую точку на одной прямой с любой точкой на другой, на вектор нормали. Возьмем точки $A(0,0,0)$ и $B_1(0,2,1)$. Вектор $\vec{AB_1} = (0,2,1)$.

Расстояние $\rho$ равно: $\rho(AA_2, B_1C_1) = \frac{|\vec{AB_1} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(0,2,1) \cdot (0,1,0)|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}} = \frac{|0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0|}{1} = 2$.

Ответ: 2

б) AA₂ и A₁D₁

В условии, по всей видимости, допущена опечатка, так как точка $A_1$ на рисунке отсутствует. Наиболее вероятной заменой является точка $B_1$, так как она структурно связана с $D_1$. Найдем расстояние между прямыми $AA_2$ и $B_1D_1$.

Прямая $AA_2$ — это ось $Oz$.

Прямая $B_1D_1$ проходит через точки $B_1(0,2,1)$ и $D_1(0,2,0)$. Эта прямая задается уравнениями $x=0, y=2$.

Обе прямые лежат в плоскости $x=0$ (плоскость $Oyz$) и параллельны друг другу. Прямая $AA_2$ — это ось $Oz$ (где $y=0$), а прямая $B_1D_1$ — это линия, параллельная $Oz$, проходящая через точку с координатой $y=2$. Расстояние между этими параллельными прямыми равно расстоянию по оси $Oy$, то есть 2.

Ответ: 2

в) AB₁ и CC₁

Прямая $AB_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$ и $B_1(0,2,1)$. Ее направляющий вектор $\vec{u} = \vec{AB_1} = (0,2,1)$.

Прямая $CC_1$ проходит через точки $C(1,2,0)$ и $C_1(1,2,1)$. Ее направляющий вектор $\vec{v} = \vec{CC_1} = (0,0,1)$.

Прямые скрещивающиеся. Вектор нормали к ним: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (0,2,1) \times (0,0,1) = (2 \cdot 1 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = (2,0,0)$.

Возьмем точки $A(0,0,0)$ и $C(1,2,0)$. Вектор $\vec{AC} = (1,2,0)$.

Расстояние $\rho(AB_1, CC_1) = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(1,2,0) \cdot (2,0,0)|}{\sqrt{2^2+0^2+0^2}} = \frac{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 0|}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1

г) AB и D₁C₂

Прямая $AB$ проходит через точки $A(0,0,0)$ и $B(2,0,0)$. Эта прямая совпадает с осью $Ox$. Ее направляющий вектор $\vec{u} = (1,0,0)$.

Прямая $D_1C_2$ проходит через точки $D_1(0,2,0)$ и $C_2(1,2,2)$. Ее направляющий вектор $\vec{v} = \vec{D_1C_2} = (1-0, 2-2, 2-0) = (1,0,2)$.

Прямые скрещивающиеся. Вектор нормали к ним: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (1,0,0) \times (1,0,2) = (0 \cdot 2 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 1 - 1 \cdot 2, 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1) = (0,-2,0)$.

Возьмем точки $A(0,0,0)$ и $D_1(0,2,0)$. Вектор $\vec{AD_1} = (0,2,0)$.

Расстояние $\rho(AB, D_1C_2) = \frac{|\vec{AD_1} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(0,2,0) \cdot (0,-2,0)|}{\sqrt{0^2+(-2)^2+0^2}} = \frac{|0 \cdot 0 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 0|}{2} = \frac{|-4|}{2} = 2$.

Ответ: 2

д) A₂B₂ и CC₁

Точка $B_2$ находится на ребре $A_2D_2$, поэтому прямая $A_2B_2$ совпадает с прямой $A_2D_2$. Прямая $A_2D_2$ проходит через точки $A_2(0,0,2)$ и $D_2(0,2,2)$. Ее направляющий вектор $\vec{u} = \vec{A_2D_2} = (0,2,0)$.

Прямая $CC_1$ проходит через $C(1,2,0)$ и $C_1(1,2,1)$. Ее направляющий вектор $\vec{v} = (0,0,1)$.

Прямые скрещивающиеся. Вектор нормали к ним: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (0,2,0) \times (0,0,1) = (2 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = (2,0,0)$.

Возьмем точки $A_2(0,0,2)$ и $C(1,2,0)$. Вектор $\vec{A_2C} = (1,2,-2)$.

Расстояние $\rho(A_2D_2, CC_1) = \frac{|\vec{A_2C} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(1,2,-2) \cdot (2,0,0)|}{\sqrt{2^2+0^2+0^2}} = \frac{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0|}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1

14.9. По аналогии с понятием наклонной к прямой на плоскости попробуйте определить понятие наклонной к плоскости в пространстве.

14.9. Для определения понятия наклонной к плоскости в пространстве воспользуемся аналогией с понятием наклонной к прямой на плоскости. Напомним, что наклонной к прямой из точки, не лежащей на ней, является любой отрезок, соединяющий эту точку с точкой на прямой, но не являющийся перпендикуляром.

Перенесем эту идею в трехмерное пространство. Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, которая не принадлежит этой плоскости.

Сначала определим перпендикуляр. Перпендикуляром, проведенным из точки $A$ к плоскости $\alpha$, называется отрезок $AH$, где точка $H$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая, содержащая отрезок $AH$, перпендикулярна плоскости $\alpha$. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра.

Теперь мы можем дать определение наклонной. Наклонной, проведенной из точки $A$ к плоскости $\alpha$, называется любой отрезок $AM$, соединяющий точку $A$ с некоторой точкой $M$ на плоскости $\alpha$, при условии, что $M$ не совпадает с основанием перпендикуляра $H$. Точка $M$ называется основанием наклонной.

Наконец, по аналогии с двумерным случаем, вводится понятие проекции. Проекцией наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$ называется отрезок $HM$, который соединяет основание перпендикуляра и основание этой наклонной.

Таким образом, три понятия — перпендикуляр, наклонная и ее проекция — тесно связаны. Наклонная $AM$, ее проекция $HM$ и перпендикуляр $AH$ образуют прямоугольный треугольник $\triangle AHM$, где $\angle AHM = 90^\circ$.

Ответ: Наклонная к плоскости — это отрезок, который соединяет точку, не принадлежащую плоскости, с точкой на этой плоскости, и при этом не является перпендикуляром к данной плоскости. Точка пересечения наклонной с плоскостью называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основание перпендикуляра (опущенного из той же точки на ту же плоскость) и основание наклонной, называется проекцией наклонной.