Номер 14.6, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.6. У правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 14.8) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC_1$.

Рис. 14.8

14.6. По условию задачи, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основания призмы ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) являются равносторонними треугольниками со стороной 1, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований и их длина также равна 1. Требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми $AA_1$ и $BC_1$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, которая проходит через вторую прямую и параллельна первой. Рассмотрим плоскость боковой грани $BCC_1B_1$. Прямая $BC_1$ лежит в этой плоскости. Прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$, так как это боковые ребра прямой призмы. Поскольку прямая $BB_1$ принадлежит плоскости $(BCC_1B_1)$, то и прямая $AA_1$ параллельна этой плоскости.

Таким образом, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $AA_1$ и $BC_1$ равно расстоянию от прямой $AA_1$ до плоскости $(BCC_1B_1)$. Это расстояние можно найти как длину перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой $AA_1$ на плоскость $(BCC_1B_1)$. Выберем точку $A$ и найдем расстояние от нее до плоскости $(BCC_1B_1)$.

Проведем в плоскости основания $ABC$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Докажем, что $AH$ является перпендикуляром к плоскости $(BCC_1B_1)$.
1. По построению, $AH \perp BC$, так как $AH$ — высота в треугольнике $ABC$.
2. Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ — прямая, ее боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AH$. Таким образом, $AH \perp BB_1$.
Прямые $BC$ и $BB_1$ пересекаются в точке $B$ и определяют плоскость $(BCC_1B_1)$. Поскольку прямая $AH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, она перпендикулярна и самой плоскости $(BCC_1B_1)$.

Следовательно, длина отрезка $AH$ и есть искомое расстояние. Треугольник $ABC$ является равносторонним со стороной $a=1$. Высота $AH$ в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставляя значение $a=1$, получаем:
$AH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.