Вопросы, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми?

2. Что называется общим перпендикуляром для двух скрещивающихся прямых?

3. Что называется расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми?

1. Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми?
Две прямые в пространстве или на плоскости называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Пусть нам даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Расстояние между ними — это величина постоянная. Чтобы найти это расстояние, нужно выполнить следующие действия:
1. Выбрать на одной из прямых (например, на прямой $a$) произвольную точку $A$.
2. Из этой точки $A$ опустить перпендикуляр на вторую прямую $b$. Пусть основание этого перпендикуляра — точка $H$, лежащая на прямой $b$.
3. Длина полученного отрезка $AH$ и есть расстояние между параллельными прямыми $a$ и $b$.
Важнейшим свойством является то, что длина этого перпендикуляра не зависит от выбора исходной точки $A$ на прямой $a$. Какую бы точку мы ни взяли, длина перпендикуляра, опущенного на прямую $b$, будет одной и той же. Это расстояние является кратчайшим между любыми двумя точками, лежащими на этих прямых.
Ответ: Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую.

2. Что называется общим перпендикуляром для двух скрещивающихся прямых?
Скрещивающимися прямыми называют две прямые в трехмерном пространстве, которые не пересекаются и не являются параллельными. Это означает, что они не лежат в одной плоскости. Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$.
Общим перпендикуляром для этих двух прямых является такой отрезок, который удовлетворяет двум условиям:
1. Его концы лежат на этих прямых. То есть, если наш отрезок — это $MN$, то точка $M$ должна принадлежать прямой $a$ ($M \in a$), а точка $N$ — прямой $b$ ($N \in b$).
2. Он перпендикулярен обеим прямым. То есть отрезок $MN$ должен быть перпендикулярен прямой $a$ ($MN \perp a$) и прямой $b$ ($MN \perp b$).
Теорема стереометрии гласит, что для любых двух скрещивающихся прямых существует ровно один такой общий перпендикуляр.
Ответ: Общим перпендикуляром для двух скрещивающихся прямых называется отрезок, концы которого лежат на этих прямых и который перпендикулярен каждой из них.

3. Что называется расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми?
Для двух скрещивающихся прямых $a$ и $b$ расстояние между ними определяется через их общий перпендикуляр. Как было установлено в предыдущем пункте, для прямых $a$ и $b$ существует единственный общий перпендикуляр — отрезок $MN$, где $M \in a$, $N \in b$, и $MN$ перпендикулярен и $a$, и $b$.
Длина этого общего перпендикуляра $MN$ является наименьшим из всех возможных расстояний между точками этих прямых. Если взять любые другие две точки $A$ на прямой $a$ и $B$ на прямой $b$, то длина отрезка $AB$ всегда будет больше длины отрезка $MN$ (за исключением случая, когда $A=M$ и $B=N$).
Таким образом, расстояние между скрещивающимися прямыми по определению равно длине их общего перпендикуляра.
Ответ: Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.