Номер 13.6, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 13. Расстояния между параллельными прямой и плоскостью и между двумя параллельными плоскостями. Глава II. Угол в пространстве. Расстояние в пространстве - номер 13.6, страница 75.

Условия.

13.6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1. Найдите расстояние между плоскостями:

a) $ABB_1$ и $DEE_1$

б) $ABB_1$ и $CFF_1$;

в) $ACC_1$ и $FDD_1$.

Решение.

Решение 2.

а) Плоскости $ABB_1$ (полное название $ABB_1A_1$) и $DEE_1$ (полное название $DEE_1D_1$) являются боковыми гранями правильной шестиугольной призмы. Так как призма прямая, эти плоскости перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$. Расстояние между такими плоскостями равно расстоянию между прямыми, по которым они пересекают плоскость основания, то есть между прямыми $AB$ и $DE$.
В основании лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Противоположные стороны правильного шестиугольника параллельны, следовательно, $AB \parallel DE$. Расстояние между этими прямыми постоянно.
Чтобы найти это расстояние, рассмотрим центр шестиугольника $O$. Расстояние между прямыми $AB$ и $DE$ равно длине отрезка, соединяющего их середины, который проходит через центр $O$. Пусть $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $DE$. Искомое расстояние — это длина отрезка $MN$.
Отрезок $OM$ является апофемой правильного шестиугольника, то есть высотой равностороннего треугольника $OAB$ со стороной $a=1$. Длина апофемы вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. При $a=1$, $OM = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Аналогично, $ON$ — это апофема для стороны $DE$, и ее длина также равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Точки $M, O, N$ лежат на одной прямой, поэтому расстояние $MN = OM + ON = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Следовательно, расстояние между плоскостями $ABB_1$ и $DEE_1$ равно $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

б) Плоскость $ABB_1$ — это боковая грань. Плоскость $CFF_1$ (полное название $CFF_1C_1$) — это диагональное сечение призмы. Обе плоскости перпендикулярны основанию $ABCDEF$. Чтобы найти расстояние между ними, нужно сначала убедиться, что они параллельны. Это так, если их следы на плоскости основания — прямые $AB$ и $CF$ — параллельны.
В правильном шестиугольнике сторона $AB$ параллельна большой диагонали $CF$. Это можно показать, например, с помощью векторов. Пусть центр шестиугольника $O$ — начало координат. Тогда $\vec{AB}$ и $\vec{FC}$ коллинеарны.
Расстояние между параллельными плоскостями $ABB_1$ и $CFF_1$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $CF$ в плоскости основания.
Большая диагональ $CF$ проходит через центр шестиугольника $O$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Тогда отрезок $OM$ перпендикулярен прямой $AB$. Так как $AB \parallel CF$, отрезок $OM$ также перпендикулярен прямой $CF$. Длина этого отрезка и есть искомое расстояние, так как точка $O$ лежит на прямой $CF$, а точка $M$ — на прямой $AB$.
Длина $OM$ — это длина апофемы правильного шестиугольника со стороной $a=1$, которая равна $OM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) Плоскости $ACC_1$ (полное название $ACC_1A_1$) и $FDD_1$ (полное название $FDD_1F_1$) являются диагональными сечениями призмы и перпендикулярны основанию. Они будут параллельны, если их следы на плоскости основания — прямые $AC$ и $FD$ — параллельны.
Рассмотрим четырехугольник $ACDF$ в основании. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ диагонали $AC$ и $FD$ равны и параллельны (так как вектор $\vec{AC}$ равен вектору $\vec{FD}$). Следовательно, плоскости $ACC_1$ и $FDD_1$ параллельны.
Расстояние между этими плоскостями равно расстоянию между параллельными прямыми $AC$ и $FD$.
Рассмотрим треугольник $ABC$. По теореме косинусов, $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1+1+1 = 3$. Значит, $AC = \sqrt{3}$.
Рассмотрим четырехугольник $ACDF$. Мы уже установили, что $AC \parallel FD$. Также можно показать, что сторона $AF$ перпендикулярна диагонали $AC$. Векторное произведение скалярно: $\vec{AF} \cdot \vec{AC} = 0$. Таким образом, $ACDF$ является прямоугольником.
Расстояние между параллельными сторонами $AC$ и $FD$ прямоугольника $ACDF$ равно длине двух других его сторон, $AF$ или $CD$.
$AF$ и $CD$ — это стороны основания шестиугольника, длина которых по условию равна 1.
Следовательно, расстояние между прямыми $AC$ и $FD$, а значит и между плоскостями, равно 1.
Ответ: 1.