Номер 12.14, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12.14. Попробуйте определить понятие расстояния между параллельными прямой и плоскостью.

12.14. Пусть даны прямая $a$ и плоскость $\alpha$, причем $a$ параллельна $\alpha$ ($a || \alpha$). Это означает, что прямая и плоскость не имеют общих точек.
Расстоянием между двумя геометрическими фигурами называется наименьшее из расстояний между точкой одной фигуры и точкой другой фигуры. В случае параллельных прямой и плоскости, расстояние от любой точки прямой до плоскости будет одинаковым. Докажем это.
Выберем на прямой $a$ две произвольные точки $A$ и $B$. Опустим из этих точек перпендикуляры $AA_1$ и $BB_1$ на плоскость $\alpha$ (то есть точки $A_1$ и $B_1$ лежат в плоскости $\alpha$). По определению расстояния от точки до плоскости, длины этих перпендикуляров, $|AA_1|$ и $|BB_1|$, являются расстояниями от точек $A$ и $B$ до плоскости $\alpha$ соответственно.
Поскольку прямые $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$, они параллельны друг другу ($AA_1 || BB_1$).
Две параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$ задают некоторую плоскость $\beta$. Прямая $a$, содержащая отрезок $AB$, лежит в этой плоскости $\beta$. Плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $A_1B_1$.
Так как прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, то по свойству параллельных прямой и плоскости, линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью $\alpha$ (прямая $A_1B_1$) параллельна прямой $a$.
Рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. В нем противоположные стороны попарно параллельны: $AB || A_1B_1$ и $AA_1 || BB_1$. Следовательно, $ABB_1A_1$ — параллелограмм.
Так как $AA_1 \perp \alpha$, то прямая $AA_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$, в том числе и прямой $A_1B_1$. Значит, угол $\angle AA_1B_1 = 90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.
В прямоугольнике длины противоположных сторон равны, поэтому $|AA_1| = |BB_1|$.
Это доказывает, что расстояние от любой точки прямой $a$ до плоскости $\alpha$ одинаково. На основе этого можно сформулировать определение.
Ответ: Расстоянием между параллельными прямой и плоскостью называется расстояние от произвольной точки этой прямой до этой плоскости.