Номер 12.9, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 12. Расстояние от точки до плоскости. Глава II. Угол в пространстве. Расстояние в пространстве - номер 12.9, страница 71.

Условия.

12.9. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 12.9). Найдите расстояние от вершины А до прямой:

а) $B_1C_1$

б) $A_1D_1$

в) $B_2C_2$

12.10. Основанием прямой

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи введем трехмерную прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра, на котором лежит отрезок $AD$, и ось $Oz$ вдоль ребра, на котором лежит отрезок $AA_2$. Поскольку все грани многогранника являются многоугольниками с прямыми углами, все ребра параллельны одной из координатных осей.

Исходя из длин ребер, указанных на рисунке, определим координаты вершин, необходимых для решения.$A=(0,0,0)$, $AB=2 \Rightarrow B=(2,0,0)$. $AD$ параллельна $A_2D_2$, $A_2D_2=2 \Rightarrow D=(0,2,0)$. $AA_2=2 \Rightarrow A_2=(0,0,2)$.
Координаты остальных точек:
$C_1$: $C=(2,2,0)$, $CC_1=1 \Rightarrow C_1=(2,2,1)$.
$B_1$: $B_1$ находится на той же высоте, что и $C_1$, и на одной прямой с $B$ параллельно $Oz$. $B_1C_1$ параллельно $Oy$, длина $B_1C_1 = BC = 2$. От $C_1=(2,2,1)$ отступаем по $y$ на $-2$, получаем $B_1=(2,0,1)$.
$D_1$: $C_1D_1=1$ и $C_1D_1$ параллельно $Ox$. От $C_1=(2,2,1)$ отступаем по $x$ на $-1$, получаем $D_1=(1,2,1)$.
$A_1$: $A_1D_1$ параллельно $Oy$ и $A_1D_1 = AD=2$. От $D_1=(1,2,1)$ отступаем по $y$ на $-2$, получаем $A_1=(1,0,1)$.
$C_2$: $D_2=(0,2,2)$, $D_2C_2=1$ и $D_2C_2$ параллельно $Ox \Rightarrow C_2=(1,2,2)$.
$B_2$: $A_2=(0,0,2)$, $A_2B_2$ параллельно $Ox$ и $A_2B_2=D_2C_2=1 \Rightarrow B_2=(1,0,2)$.

а) $B_1C_1$

Найдем расстояние от точки $A(0,0,0)$ до прямой $B_1C_1$. Координаты точек: $B_1=(2,0,1)$ и $C_1=(2,2,1)$. Прямая $B_1C_1$ параллельна оси $Oy$, так как у обеих точек одинаковые координаты $x=2$ и $z=1$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Основание перпендикуляра из точки $A(0,0,0)$ на прямую, заданную уравнениями $x=2, z=1$, будет иметь координаты $(2,y,1)$. Чтобы вектор от $A$ до этой точки был перпендикулярен направляющему вектору прямой $(0,1,0)$, координата $y$ должна быть равна $0$. Таким образом, основание перпендикуляра — точка $H(2,0,1)$, которая совпадает с точкой $B_1$.

Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $AB_1$.

$\rho(A, B_1C_1) = ||\vec{AB_1}|| = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{4+0+1} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

б) $A_1D_1$

Найдем расстояние от точки $A(0,0,0)$ до прямой $A_1D_1$. Координаты точек: $A_1=(1,0,1)$ и $D_1=(1,2,1)$. Прямая $A_1D_1$ параллельна оси $Oy$, так как у обеих точек одинаковые координаты $x=1$ и $z=1$.

Аналогично предыдущему пункту, основанием перпендикуляра из точки $A(0,0,0)$ на прямую $A_1D_1$ (заданную как $x=1, z=1$) является точка $H(1,0,1)$, которая совпадает с точкой $A_1$.

Искомое расстояние равно длине отрезка $AA_1$.

$\rho(A, A_1D_1) = ||\vec{AA_1}|| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

в) $B_2C_2$

Найдем расстояние от точки $A(0,0,0)$ до прямой $B_2C_2$. Координаты точек: $B_2=(1,0,2)$ и $C_2=(1,2,2)$. Прямая $B_2C_2$ параллельна оси $Oy$, так как у обеих точек одинаковые координаты $x=1$ и $z=2$.

Основанием перпендикуляра из точки $A(0,0,0)$ на прямую $B_2C_2$ (заданную как $x=1, z=2$) является точка $H(1,0,2)$, которая совпадает с точкой $B_2$.

Искомое расстояние равно длине отрезка $AB_2$.

$\rho(A, B_2C_2) = ||\vec{AB_2}|| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1+0+4} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.