Номер 12.8, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 12. Расстояние от точки до плоскости. Глава II. Угол в пространстве. Расстояние в пространстве - номер 12.8, страница 71.

Условия.

12.8. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 12.9). Найдите расстояние между вершинами:

Рис. 12.9

а) A и $C_1$;

б) A и $D_1$;

в) A и $C_2$;

г) B и $D_1$;

д) B и $D_2$.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи введем трехмерную прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A$, ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра, перпендикулярного $AB$ в плоскости основания (условно вдоль $AD$), а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA₂$.

В условии сказано, что гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами. Это означает, что все ребра фигуры должны быть параллельны осям координат. При анализе размеров, указанных на рисунке, выявляется противоречие. Если определять координаты вершин, исходя из размеров основания ($AB=2$, $BC=2$ и прямого угла в вершине $B$), то координата $x$ точки $C$ должна быть равна $2$, то есть $C(2, 2, 0)$. Однако, если определять координаты, спускаясь от верхних вершин ($D₂$, $C₂$, $C₁$) и используя размеры $D₂C₂=1$ и $C₂C₁=C₁C=1$, то координаты точки $C$ получаются $C(1, 2, 0)$. Это нарушает условие о прямых углах на грани основания (угол $B$ перестает быть прямым).

Чтобы сохранить условие о прямых углах на всех гранях, необходимо предположить, что на рисунке допущена опечатка. Наиболее вероятным является предположение, что размеры $D₂C₂$ и $D₁C₁$ на самом деле равны $2$, а не $1$. При этом условии все размеры становятся согласованными, а все грани — многоугольниками с прямыми углами. Будем решать задачу в этом предположении.

Определим координаты необходимых для решения вершин:

$A(0, 0, 0)$ — начало координат.
$B(2, 0, 0)$ — так как $AB=2$ и лежит на оси $Ox$.
$D₂(0, 2, 2)$ — так как $AA₂=2$ и $A₂D₂=2$.
$D₁(0, 2, 1)$ — находится на том же "столбце", что и $D₂$, но на высоте $z=1$.
$C₂(2, 2, 2)$ — получается из $D₂(0, 2, 2)$ с учетом $D₂C₂=2$ (по нашему предположению).
$C₁(2, 2, 1)$ — находится под $C₂$ на расстоянии $C₂C₁=1$.

Расстояние между двумя точками $P_1(x_1, y_1, z_1)$ и $P_2(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

а) A и C₁

Найдем расстояние между точками $A(0, 0, 0)$ и $C₁(2, 2, 1)$.
$d(A, C₁) = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3

б) A и D₁

Найдем расстояние между точками $A(0, 0, 0)$ и $D₁(0, 2, 1)$.
$d(A, D₁) = \sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{0+4+1} = \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}$

в) A и C₂

Найдем расстояние между точками $A(0, 0, 0)$ и $C₂(2, 2, 2)$.
$d(A, C₂) = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$

г) B и D₁

Найдем расстояние между точками $B(2, 0, 0)$ и $D₁(0, 2, 1)$.
$d(B, D₁) = \sqrt{(0-2)^2 + (2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3

д) B и D₂

Найдем расстояние между точками $B(2, 0, 0)$ и $D₂(0, 2, 2)$.
$d(B, D₂) = \sqrt{(0-2)^2 + (2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$