Страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12.4. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 12.7). Найдите расстояние от вершины $A$ до плоскости:

а) $BDD_1$;

б) $BEE_1$;

в) $BFF_1$;

г) $BCC_1$;

д) $CDD_1$;

е) $CEE_1$;

ж) $CFF_1$.

Рис. 12.7

В правильной шестиугольной призме основания являются правильными шестиугольниками, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. По условию, все ребра равны 1, значит, сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Все указанные в задаче плоскости ($BDD_1, BEE_1$ и т.д.) содержат вертикальные ребра или прямые, параллельные им (например, $DD_1, EE_1, FF_1, CC_1$). Это означает, что все эти плоскости перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, расстояние от вершины A до каждой из этих плоскостей равно расстоянию от точки A до соответствующей прямой ($BD, BE, BF$ и т.д.) в плоскости основания ABCDEF.

Таким образом, мы решаем серию планиметрических задач на правильном шестиугольнике ABCDEF со стороной 1.

а) BDD₁

Требуется найти расстояние от точки A до прямой BD в плоскости основания. Рассмотрим треугольник ABD. Его стороны: $AB=1$ (сторона шестиугольника), $AD=2$ (большая диагональ шестиугольника, равная двум сторонам). Длину малой диагонали BD найдем из равнобедренного треугольника BCD с боковыми сторонами $BC=CD=1$ и углом между ними $\angle BCD = 120^\circ$. По теореме косинусов: $BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3$. Отсюда $BD = \sqrt{3}$.

В треугольнике ABD проверим теорему Пифагора: $AB^2 + BD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4$. $AD^2 = 2^2 = 4$. Поскольку $AB^2 + BD^2 = AD^2$, треугольник ABD является прямоугольным с прямым углом при вершине B. Следовательно, расстояние от точки A до прямой BD равно длине катета AB.

Ответ: 1.

б) BEE₁

Ищем расстояние от точки A до прямой BE. Прямая BE является большой диагональю шестиугольника и проходит через его центр O. Расстояние от A до прямой BE равно высоте треугольника AOB, опущенной из вершины A на сторону OB. Треугольник AOB является равносторонним, так как $OA=OB=R=a=1$ и $AB=a=1$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) BFF₁

Ищем расстояние от точки A до прямой BF. В правильном шестиугольнике отрезок BF перпендикулярен большой диагонали AD. Пусть O - центр шестиугольника. Точки A, B, F образуют равнобедренный треугольник ABF со сторонами $AB=AF=1$. Расстояние от A до прямой BF - это высота этого треугольника. Однако проще воспользоваться координатным методом. Поместим центр O в начало координат (0,0), а вершину A на ось Ox. Тогда A(1,0), B(1/2, $\sqrt{3}/2$), F(1/2, $-\sqrt{3}/2$). Прямая BF является вертикальной прямой с уравнением $x = 1/2$. Расстояние от точки A(1,0) до прямой $x=1/2$ равно $|1 - 1/2| = 1/2$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) BCC₁

Ищем расстояние от точки A до прямой BC. Это расстояние равно высоте треугольника ABC, опущенной из вершины A на сторону BC. Площадь треугольника ABC можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Стороны $AB=BC=1$, угол между ними $\angle ABC = 120^\circ$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

С другой стороны, $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A$, где $h_A$ - искомое расстояние.

$\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot h_A$, откуда $h_A = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

д) CDD₁

Ищем расстояние от точки A до прямой CD. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны, т.е. $CD \parallel AF$. Расстояние от точки A до прямой CD равно расстоянию между этими параллельными прямыми. Это расстояние равно высоте шестиугольника, которое можно найти как сумму высот двух равносторонних треугольников с общей стороной (например, $\triangle AFO$ и $\triangle CDO$, высоты опущены на оси симметрии). Расстояние между противоположными сторонами правильного шестиугольника со стороной $a$ равно $a\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

е) CEE₁

Ищем расстояние от точки A до прямой CE. Введем систему координат с центром O(0,0) и вершиной A(1,0). Координаты вершин: C(-1/2, $\sqrt{3}/2$) и E(-1/2, $-\sqrt{3}/2$). Прямая CE является вертикальной прямой с уравнением $x = -1/2$. Расстояние от точки A(1,0) до прямой $x=-1/2$ равно $|1 - (-1/2)| = 3/2$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

ж) CFF₁

Ищем расстояние от точки A до прямой CF. Диагональ CF проходит через центр шестиугольника O (так как C и F - противолежащие вершины). Таким образом, прямые CF и AF пересекаются в точке F, и нам нужно найти высоту треугольника ACF из вершины A. Проще заметить, что расстояние от точки A до прямой CF (которая проходит через O и F) есть высота треугольника AOF, опущенная из вершины A на сторону OF. Треугольник AOF является равносторонним со стороной 1, так как $OA=OF=R=a=1$ и $AF=a=1$. Высота такого треугольника равна $a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

12.5. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 12.7). Найдите расстояние между вершинами:

а) A и $C_1$;

б) A и $D_1$.

Рис. 12.7

В данной задаче мы имеем правильную шестиугольную призму, у которой все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$) равна 1, и высота призмы (длина боковых ребер, например, $AA_1$) также равна 1.

а) А и C₁

Чтобы найти расстояние между вершинами A и C₁, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $ACC_1$. Катет $CC_1$ является боковым ребром призмы, поэтому его длина равна 1. Катет $AC$ лежит в плоскости основания. Искомое расстояние $AC_1$ будет гипотенузой этого треугольника.

По теореме Пифагора: $AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$.

Сначала найдем длину диагонали $AC$ в основании. Рассмотрим треугольник $ABC$ в основании. Так как основание – правильный шестиугольник, все его стороны равны 1, а все внутренние углы равны $120^\circ$. Таким образом, в треугольнике $ABC$ мы имеем $AB = 1$, $BC = 1$ и $\angle ABC = 120^\circ$.

По теореме косинусов для треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:

$AC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-1/2) = 2 + 1 = 3$

Следовательно, $AC = \sqrt{3}$.

Теперь вернемся к треугольнику $ACC_1$ и найдем гипотенузу $AC_1$:

$AC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$AC_1 = \sqrt{4} = 2$

Ответ: 2

б) А и D₁

Аналогично, чтобы найти расстояние между вершинами A и D₁, мы рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Катет $DD_1$ — это боковое ребро, его длина равна 1. Катет $AD$ — это большая диагональ шестиугольника в основании. Искомое расстояние $AD_1$ — гипотенуза этого треугольника.

По теореме Пифагора: $AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$.

Найдем длину большой диагонали $AD$ правильного шестиугольника со стороной 1. Большая диагональ правильного шестиугольника всегда в два раза длиннее его стороны.

Это можно увидеть, разбив шестиугольник на 6 равносторонних треугольников с вершинами в центре. Диагональ $AD$ проходит через центр и состоит из двух сторон таких треугольников. Таким образом, $AD = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь подставим найденные значения в теорему Пифагора для треугольника $ADD_1$:

$AD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$AD_1 = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

12.6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 12.7). Найдите расстояние от вершины A до прямой: а) $BD_1$; б) $CD_1$.

Рис. 12.7

Для решения задачи введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания, правильного шестиугольника $ABCDEF$, находится в начале координат $O(0, 0, 0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Так как призма правильная и все ребра равны 1, то высота призмы равна 1, а сторона основания равна 1. Расстояние от центра правильного шестиугольника до его вершин равно стороне, то есть 1.

Расположим вершины основания в плоскости $Oxy$. Пусть вершина $D$ лежит на положительной части оси $Ox$. Тогда координаты вершин будут следующими:

$A(-1, 0, 0)$

$B(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D(1, 0, 0)$

Вершины верхнего основания будут иметь те же координаты $x$ и $y$, а координата $z$ будет равна 1. В частности, координаты вершины $D_1$ будут $D_1(1, 0, 1)$.

а) Найдем расстояние от вершины $A$ до прямой $BD_1$.

Расстояние $d$ от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до прямой, проходящей через точки $M_1$ и $M_2$, можно найти по формуле $d = \frac{|\vec{M_1M_0} \times \vec{M_1M_2}|}{|\vec{M_1M_2}|}$.

В нашем случае точка $M_0$ — это $A(-1, 0, 0)$, а прямая проходит через точки $M_1 = B(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $M_2 = D_1(1, 0, 1)$.

Найдем векторы:

$\vec{BA} = \vec{M_1M_0} = \langle -1 - (-\frac{1}{2}), 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0 - 0 \rangle = \langle -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \rangle$

$\vec{BD_1} = \vec{M_1M_2} = \langle 1 - (-\frac{1}{2}), 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1 - 0 \rangle = \langle \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \rangle$

Вычислим их векторное произведение:

$\vec{BA} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \vec{j}(-\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{3}{2}) + \vec{k}(-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i} + \frac{1}{2}\vec{j} - \sqrt{3}\vec{k}$

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{BA} \times \vec{BD_1}| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 3} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь найдем модуль вектора $\vec{BD_1}$:

$|\vec{BD_1}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{\frac{12}{4} + 1} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Искомое расстояние равно:

$d = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1.

б) Найдем расстояние от вершины $A$ до прямой $CD_1$.

Рассмотрим треугольник $ACD_1$. Искомое расстояние является высотой этого треугольника, опущенной из вершины $A$ на сторону $CD_1$. Найдем длины сторон этого треугольника, используя координаты вершин: $A(-1, 0, 0)$, $C(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $D_1(1, 0, 1)$.

Длина стороны $AC$ (малая диагональ шестиугольника):

$|AC|^2 = (\frac{1}{2} - (-1))^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)^2 + (0 - 0)^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

$|AC| = \sqrt{3}$.

Длина стороны $CD_1$ (диагональ боковой грани-квадрата):

$|CD_1|^2 = (1 - \frac{1}{2})^2 + (0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}))^2 + (1 - 0)^2 = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 = 1 + 1 = 2$.

$|CD_1| = \sqrt{2}$.

Длина стороны $AD_1$ (пространственная диагональ):

$|AD_1|^2 = (1 - (-1))^2 + (0 - 0)^2 + (1 - 0)^2 = 2^2 + 0^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

$|AD_1| = \sqrt{5}$.

Проверим, выполняется ли для треугольника $ACD_1$ теорема Пифагора:

$|AC|^2 + |CD_1|^2 = 3 + 2 = 5 = |AD_1|^2$.

Так как сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, треугольник $ACD_1$ является прямоугольным, причем прямой угол находится при вершине $C$. Это означает, что катет $AC$ перпендикулярен катету $CD_1$.

Следовательно, расстояние от точки $A$ до прямой $CD_1$ равно длине перпендикуляра, то есть длине отрезка $AC$.

$d = |AC| = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

12.7. Стороны основания правильной треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ равны 1 (рис. 12.8). Найдите расстояние от вершины $A$ этой призмы до плоскости $BCC_1$.

Рис. 12.8

По условию задачи дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Это означает, что в основаниях призмы лежат правильные (равносторонние) треугольники, а боковые грани являются прямоугольниками и перпендикулярны основаниям.

Основания призмы — треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Стороны основания равны 1, то есть $AB = BC = AC = 1$.

Нам необходимо найти расстояние от вершины $A$ до плоскости боковой грани $BCC_1$. Расстояние от точки до плоскости есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Рассмотрим основание призмы — равносторонний треугольник $ABC$. Проведем в этом треугольнике высоту $AH$ к стороне $BC$.

По определению высоты, $AH \perp BC$.

Так как призма правильная, ее боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, ребро $CC_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, $CC_1 \perp AH$.

Мы имеем, что прямая $AH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $CC_1$) в плоскости $BCC_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AH$ перпендикулярна всей плоскости $BCC_1$.

Таким образом, длина отрезка $AH$ является искомым расстоянием от точки $A$ до плоскости $BCC_1$.

Найдем длину высоты $AH$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=1$. Формула для высоты $h$ равностороннего треугольника: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значение стороны $a=1$:

$AH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

12.8. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 12.9). Найдите расстояние между вершинами:

Рис. 12.9

а) A и $C_1$;

б) A и $D_1$;

в) A и $C_2$;

г) B и $D_1$;

д) B и $D_2$.

Для решения задачи введем трехмерную прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A$, ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра, перпендикулярного $AB$ в плоскости основания (условно вдоль $AD$), а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA₂$.

В условии сказано, что гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами. Это означает, что все ребра фигуры должны быть параллельны осям координат. При анализе размеров, указанных на рисунке, выявляется противоречие. Если определять координаты вершин, исходя из размеров основания ($AB=2$, $BC=2$ и прямого угла в вершине $B$), то координата $x$ точки $C$ должна быть равна $2$, то есть $C(2, 2, 0)$. Однако, если определять координаты, спускаясь от верхних вершин ($D₂$, $C₂$, $C₁$) и используя размеры $D₂C₂=1$ и $C₂C₁=C₁C=1$, то координаты точки $C$ получаются $C(1, 2, 0)$. Это нарушает условие о прямых углах на грани основания (угол $B$ перестает быть прямым).

Чтобы сохранить условие о прямых углах на всех гранях, необходимо предположить, что на рисунке допущена опечатка. Наиболее вероятным является предположение, что размеры $D₂C₂$ и $D₁C₁$ на самом деле равны $2$, а не $1$. При этом условии все размеры становятся согласованными, а все грани — многоугольниками с прямыми углами. Будем решать задачу в этом предположении.

Определим координаты необходимых для решения вершин:

$A(0, 0, 0)$ — начало координат.
$B(2, 0, 0)$ — так как $AB=2$ и лежит на оси $Ox$.
$D₂(0, 2, 2)$ — так как $AA₂=2$ и $A₂D₂=2$.
$D₁(0, 2, 1)$ — находится на том же "столбце", что и $D₂$, но на высоте $z=1$.
$C₂(2, 2, 2)$ — получается из $D₂(0, 2, 2)$ с учетом $D₂C₂=2$ (по нашему предположению).
$C₁(2, 2, 1)$ — находится под $C₂$ на расстоянии $C₂C₁=1$.

Расстояние между двумя точками $P_1(x_1, y_1, z_1)$ и $P_2(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

а) A и C₁

Найдем расстояние между точками $A(0, 0, 0)$ и $C₁(2, 2, 1)$.
$d(A, C₁) = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3

б) A и D₁

Найдем расстояние между точками $A(0, 0, 0)$ и $D₁(0, 2, 1)$.
$d(A, D₁) = \sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{0+4+1} = \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}$

в) A и C₂

Найдем расстояние между точками $A(0, 0, 0)$ и $C₂(2, 2, 2)$.
$d(A, C₂) = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$

г) B и D₁

Найдем расстояние между точками $B(2, 0, 0)$ и $D₁(0, 2, 1)$.
$d(B, D₁) = \sqrt{(0-2)^2 + (2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3

д) B и D₂

Найдем расстояние между точками $B(2, 0, 0)$ и $D₂(0, 2, 2)$.
$d(B, D₂) = \sqrt{(0-2)^2 + (2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$

12.9. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 12.9). Найдите расстояние от вершины А до прямой:

а) $B_1C_1$

б) $A_1D_1$

в) $B_2C_2$

12.10. Основанием прямой

Для решения задачи введем трехмерную прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра, на котором лежит отрезок $AD$, и ось $Oz$ вдоль ребра, на котором лежит отрезок $AA_2$. Поскольку все грани многогранника являются многоугольниками с прямыми углами, все ребра параллельны одной из координатных осей.

Исходя из длин ребер, указанных на рисунке, определим координаты вершин, необходимых для решения.$A=(0,0,0)$, $AB=2 \Rightarrow B=(2,0,0)$. $AD$ параллельна $A_2D_2$, $A_2D_2=2 \Rightarrow D=(0,2,0)$. $AA_2=2 \Rightarrow A_2=(0,0,2)$.
Координаты остальных точек:
$C_1$: $C=(2,2,0)$, $CC_1=1 \Rightarrow C_1=(2,2,1)$.
$B_1$: $B_1$ находится на той же высоте, что и $C_1$, и на одной прямой с $B$ параллельно $Oz$. $B_1C_1$ параллельно $Oy$, длина $B_1C_1 = BC = 2$. От $C_1=(2,2,1)$ отступаем по $y$ на $-2$, получаем $B_1=(2,0,1)$.
$D_1$: $C_1D_1=1$ и $C_1D_1$ параллельно $Ox$. От $C_1=(2,2,1)$ отступаем по $x$ на $-1$, получаем $D_1=(1,2,1)$.
$A_1$: $A_1D_1$ параллельно $Oy$ и $A_1D_1 = AD=2$. От $D_1=(1,2,1)$ отступаем по $y$ на $-2$, получаем $A_1=(1,0,1)$.
$C_2$: $D_2=(0,2,2)$, $D_2C_2=1$ и $D_2C_2$ параллельно $Ox \Rightarrow C_2=(1,2,2)$.
$B_2$: $A_2=(0,0,2)$, $A_2B_2$ параллельно $Ox$ и $A_2B_2=D_2C_2=1 \Rightarrow B_2=(1,0,2)$.

Найдем расстояние от точки $A(0,0,0)$ до прямой $B_1C_1$. Координаты точек: $B_1=(2,0,1)$ и $C_1=(2,2,1)$. Прямая $B_1C_1$ параллельна оси $Oy$, так как у обеих точек одинаковые координаты $x=2$ и $z=1$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Основание перпендикуляра из точки $A(0,0,0)$ на прямую, заданную уравнениями $x=2, z=1$, будет иметь координаты $(2,y,1)$. Чтобы вектор от $A$ до этой точки был перпендикулярен направляющему вектору прямой $(0,1,0)$, координата $y$ должна быть равна $0$. Таким образом, основание перпендикуляра — точка $H(2,0,1)$, которая совпадает с точкой $B_1$.

Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $AB_1$.

$\rho(A, B_1C_1) = ||\vec{AB_1}|| = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{4+0+1} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

Найдем расстояние от точки $A(0,0,0)$ до прямой $A_1D_1$. Координаты точек: $A_1=(1,0,1)$ и $D_1=(1,2,1)$. Прямая $A_1D_1$ параллельна оси $Oy$, так как у обеих точек одинаковые координаты $x=1$ и $z=1$.

Аналогично предыдущему пункту, основанием перпендикуляра из точки $A(0,0,0)$ на прямую $A_1D_1$ (заданную как $x=1, z=1$) является точка $H(1,0,1)$, которая совпадает с точкой $A_1$.

Искомое расстояние равно длине отрезка $AA_1$.

$\rho(A, A_1D_1) = ||\vec{AA_1}|| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

Найдем расстояние от точки $A(0,0,0)$ до прямой $B_2C_2$. Координаты точек: $B_2=(1,0,2)$ и $C_2=(1,2,2)$. Прямая $B_2C_2$ параллельна оси $Oy$, так как у обеих точек одинаковые координаты $x=1$ и $z=2$.

Основанием перпендикуляра из точки $A(0,0,0)$ на прямую $B_2C_2$ (заданную как $x=1, z=2$) является точка $H(1,0,2)$, которая совпадает с точкой $B_2$.

Искомое расстояние равно длине отрезка $AB_2$.

$\rho(A, B_2C_2) = ||\vec{AB_2}|| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1+0+4} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

12.10. Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб со стороной 3 и острым углом $60^{\circ}$. Боковое ребро призмы равно 4. Найдите меньшую диагональ призмы (рис. 12.10).

Рис. 12.10

Пусть дана прямая четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании призмы, $ABCD$, лежит ромб.

Согласно условию задачи:
- Сторона ромба равна 3. То есть, $AB = BC = CD = DA = 3$.
- Острый угол ромба равен $60^\circ$. Пусть $\angle DAB = 60^\circ$.
- Боковое ребро призмы равно 4. Так как призма прямая, ее боковое ребро равно высоте $h$. Таким образом, $h = AA_1 = 4$.

У призмы есть две диагонали разной длины, которые соответствуют двум диагоналям ромба в основании. Чтобы найти меньшую диагональ призмы, сначала необходимо определить меньшую диагональ ромба. Меньшая диагональ ромба ($d_{меньш}$) лежит напротив его острого угла.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$, образованный двумя сторонами ромба $AB$, $AD$ и диагональю $BD$. Поскольку $AB = AD = 3$, треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным. Угол между равными сторонами $\angle DAB = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ABD = \angle ADB = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Так как все углы треугольника равны $60^\circ$, он является равносторонним.

Следовательно, длина меньшей диагонали ромба $BD$ равна длине его стороны:
$d_{меньш} = BD = 3$.

Меньшая диагональ призмы ($D_{меньш}$) — это диагональ, соединяющая вершины, между которыми лежит меньшая диагональ основания. В данном случае это диагональ $BD_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDD_1$. Он прямоугольный, так как призма прямая, и ребро $DD_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$, а значит, и диагонали $BD$, лежащей в этом основании. Катетами этого треугольника являются меньшая диагональ основания $BD$ и высота призмы $DD_1$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $BD_1$:
$D_{меньш}^2 = BD^2 + DD_1^2$
$D_{меньш}^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$D_{меньш} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: 5