Номер 12.10, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12.10. Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб со стороной 3 и острым углом $60^{\circ}$. Боковое ребро призмы равно 4. Найдите меньшую диагональ призмы (рис. 12.10).

Рис. 12.10

Пусть дана прямая четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании призмы, $ABCD$, лежит ромб.

Согласно условию задачи:
- Сторона ромба равна 3. То есть, $AB = BC = CD = DA = 3$.
- Острый угол ромба равен $60^\circ$. Пусть $\angle DAB = 60^\circ$.
- Боковое ребро призмы равно 4. Так как призма прямая, ее боковое ребро равно высоте $h$. Таким образом, $h = AA_1 = 4$.

У призмы есть две диагонали разной длины, которые соответствуют двум диагоналям ромба в основании. Чтобы найти меньшую диагональ призмы, сначала необходимо определить меньшую диагональ ромба. Меньшая диагональ ромба ($d_{меньш}$) лежит напротив его острого угла.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$, образованный двумя сторонами ромба $AB$, $AD$ и диагональю $BD$. Поскольку $AB = AD = 3$, треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным. Угол между равными сторонами $\angle DAB = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ABD = \angle ADB = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Так как все углы треугольника равны $60^\circ$, он является равносторонним.

Следовательно, длина меньшей диагонали ромба $BD$ равна длине его стороны:
$d_{меньш} = BD = 3$.

Меньшая диагональ призмы ($D_{меньш}$) — это диагональ, соединяющая вершины, между которыми лежит меньшая диагональ основания. В данном случае это диагональ $BD_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDD_1$. Он прямоугольный, так как призма прямая, и ребро $DD_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$, а значит, и диагонали $BD$, лежащей в этом основании. Катетами этого треугольника являются меньшая диагональ основания $BD$ и высота призмы $DD_1$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $BD_1$:
$D_{меньш}^2 = BD^2 + DD_1^2$
$D_{меньш}^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$D_{меньш} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: 5