Номер 12.4, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12.4. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 12.7). Найдите расстояние от вершины $A$ до плоскости:

а) $BDD_1$;

б) $BEE_1$;

в) $BFF_1$;

г) $BCC_1$;

д) $CDD_1$;

е) $CEE_1$;

ж) $CFF_1$.

Рис. 12.7

В правильной шестиугольной призме основания являются правильными шестиугольниками, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. По условию, все ребра равны 1, значит, сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Все указанные в задаче плоскости ($BDD_1, BEE_1$ и т.д.) содержат вертикальные ребра или прямые, параллельные им (например, $DD_1, EE_1, FF_1, CC_1$). Это означает, что все эти плоскости перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, расстояние от вершины A до каждой из этих плоскостей равно расстоянию от точки A до соответствующей прямой ($BD, BE, BF$ и т.д.) в плоскости основания ABCDEF.

Таким образом, мы решаем серию планиметрических задач на правильном шестиугольнике ABCDEF со стороной 1.

а) BDD₁

Требуется найти расстояние от точки A до прямой BD в плоскости основания. Рассмотрим треугольник ABD. Его стороны: $AB=1$ (сторона шестиугольника), $AD=2$ (большая диагональ шестиугольника, равная двум сторонам). Длину малой диагонали BD найдем из равнобедренного треугольника BCD с боковыми сторонами $BC=CD=1$ и углом между ними $\angle BCD = 120^\circ$. По теореме косинусов: $BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3$. Отсюда $BD = \sqrt{3}$.

В треугольнике ABD проверим теорему Пифагора: $AB^2 + BD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4$. $AD^2 = 2^2 = 4$. Поскольку $AB^2 + BD^2 = AD^2$, треугольник ABD является прямоугольным с прямым углом при вершине B. Следовательно, расстояние от точки A до прямой BD равно длине катета AB.

Ответ: 1.

б) BEE₁

Ищем расстояние от точки A до прямой BE. Прямая BE является большой диагональю шестиугольника и проходит через его центр O. Расстояние от A до прямой BE равно высоте треугольника AOB, опущенной из вершины A на сторону OB. Треугольник AOB является равносторонним, так как $OA=OB=R=a=1$ и $AB=a=1$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) BFF₁

Ищем расстояние от точки A до прямой BF. В правильном шестиугольнике отрезок BF перпендикулярен большой диагонали AD. Пусть O - центр шестиугольника. Точки A, B, F образуют равнобедренный треугольник ABF со сторонами $AB=AF=1$. Расстояние от A до прямой BF - это высота этого треугольника. Однако проще воспользоваться координатным методом. Поместим центр O в начало координат (0,0), а вершину A на ось Ox. Тогда A(1,0), B(1/2, $\sqrt{3}/2$), F(1/2, $-\sqrt{3}/2$). Прямая BF является вертикальной прямой с уравнением $x = 1/2$. Расстояние от точки A(1,0) до прямой $x=1/2$ равно $|1 - 1/2| = 1/2$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) BCC₁

Ищем расстояние от точки A до прямой BC. Это расстояние равно высоте треугольника ABC, опущенной из вершины A на сторону BC. Площадь треугольника ABC можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Стороны $AB=BC=1$, угол между ними $\angle ABC = 120^\circ$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

С другой стороны, $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A$, где $h_A$ - искомое расстояние.

$\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot h_A$, откуда $h_A = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

д) CDD₁

Ищем расстояние от точки A до прямой CD. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны, т.е. $CD \parallel AF$. Расстояние от точки A до прямой CD равно расстоянию между этими параллельными прямыми. Это расстояние равно высоте шестиугольника, которое можно найти как сумму высот двух равносторонних треугольников с общей стороной (например, $\triangle AFO$ и $\triangle CDO$, высоты опущены на оси симметрии). Расстояние между противоположными сторонами правильного шестиугольника со стороной $a$ равно $a\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

е) CEE₁

Ищем расстояние от точки A до прямой CE. Введем систему координат с центром O(0,0) и вершиной A(1,0). Координаты вершин: C(-1/2, $\sqrt{3}/2$) и E(-1/2, $-\sqrt{3}/2$). Прямая CE является вертикальной прямой с уравнением $x = -1/2$. Расстояние от точки A(1,0) до прямой $x=-1/2$ равно $|1 - (-1/2)| = 3/2$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

ж) CFF₁

Ищем расстояние от точки A до прямой CF. Диагональ CF проходит через центр шестиугольника O (так как C и F - противолежащие вершины). Таким образом, прямые CF и AF пересекаются в точке F, и нам нужно найти высоту треугольника ACF из вершины A. Проще заметить, что расстояние от точки A до прямой CF (которая проходит через O и F) есть высота треугольника AOF, опущенная из вершины A на сторону OF. Треугольник AOF является равносторонним со стороной 1, так как $OA=OF=R=a=1$ и $AF=a=1$. Высота такого треугольника равна $a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.