Номер 11.15, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11.15. Попробуйте определить понятие расстояния от точки до плоскости.

Для определения понятия расстояния от точки до плоскости, рассмотрим точку $M$ и плоскость $\alpha$. Из точки $M$ можно провести бесконечное множество отрезков, соединяющих ее с точками на плоскости $\alpha$. Длины этих отрезков будут различны. Интуитивно понятно, что расстояние должно быть наименьшим из всех возможных.

Наименьшим из всех отрезков, соединяющих точку $M$ с плоскостью $\alpha$, является перпендикуляр, опущенный из этой точки на плоскость. Пусть $H$ – точка пересечения этого перпендикуляра с плоскостью $\alpha$. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра или проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$.

Любой другой отрезок, соединяющий точку $M$ с произвольной точкой $K$ на плоскости $\alpha$ (где $K$ не совпадает с $H$), называется наклонной. Отрезок $HK$, лежащий в плоскости $\alpha$, является проекцией наклонной $MK$ на эту плоскость.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHK$. Так как отрезок $MH$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, он перпендикулярен и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $H$, в том числе прямой $HK$. Следовательно, угол $\angle MHK = 90^\circ$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle MHK$: $MK^2 = MH^2 + HK^2$

Из этой формулы видно, что для любой точки $K$ на плоскости, не совпадающей с $H$, длина наклонной $MK$ всегда будет больше длины перпендикуляра $MH$ ($MK > MH$). Это доказывает, что перпендикуляр является самым коротким отрезком от точки до плоскости.

Таким образом, можно дать строгое определение:

Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной плоскости.

Важно отметить, что если точка лежит на самой плоскости, то расстояние от нее до плоскости считается равным нулю.

Ответ: Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.