Номер 11.12, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11.12. Докажите, что в кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ прямая $BD_1$ перпендикулярна прямым $AC$ и $AB_1$.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Направим оси координат вдоль ребер: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$ и ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Пусть ребро куба имеет длину $a$.

В этой системе координат вершины, участвующие в задаче, имеют следующие координаты: $A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $A_1(0, 0, a)$, $B_1(a, 0, a)$, $D_1(0, a, a)$.

Доказательство перпендикулярности $BD_1$ и $AC$

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $BD_1$ и $AC$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.
$\vec{BD_1} = (0 - a, a - 0, a - 0) = (-a, a, a)$.
$\vec{AC} = (a - 0, a - 0, 0 - 0) = (a, a, 0)$.

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если их направляющие векторы ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BD_1}$ и $\vec{AC}$:
$\vec{BD_1} \cdot \vec{AC} = (-a)(a) + (a)(a) + (a)(0) = -a^2 + a^2 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, а следовательно, и прямые $BD_1$ и $AC$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Перпендикулярность прямых $BD_1$ и $AC$ доказана.

Доказательство перпендикулярности $BD_1$ и $AB_1$

Аналогично докажем перпендикулярность прямых $BD_1$ и $AB_1$. Используем уже найденный вектор $\vec{BD_1} = (-a, a, a)$.
Найдем координаты направляющего вектора для прямой $AB_1$:
$\vec{AB_1} = (a - 0, 0 - 0, a - 0) = (a, 0, a)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BD_1}$ и $\vec{AB_1}$:
$\vec{BD_1} \cdot \vec{AB_1} = (-a)(a) + (a)(0) + (a)(a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, а следовательно, и прямые $BD_1$ и $AB_1$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Перпендикулярность прямых $BD_1$ и $AB_1$ доказана.