Номер 11.13, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11.13. Докажите, что в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямая $BD_1$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$.

Для доказательства того, что прямая $BD_1$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$, необходимо доказать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. В качестве таких прямых в плоскости $ACB_1$ выберем прямые $AC$ и $CB_1$, которые пересекаются в точке $C$.

1. Докажем перпендикулярность прямых $BD_1$ и $AC$.

Рассмотрим основание куба — квадрат $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$ по свойству куба. Следовательно, $DD_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, включая $AC$. Таким образом, $DD_1 \perp AC$.Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $DD_1$) в плоскости $BDD_1B_1$, то прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $BDD_1B_1$.Прямая $BD_1$ лежит в плоскости $BDD_1B_1$.Следовательно, $AC \perp BD_1$.

2. Докажем перпендикулярность прямых $BD_1$ и $CB_1$.

Рассмотрим боковую грань куба — квадрат $BCC_1B_1$. Его диагонали $CB_1$ и $BC_1$ перпендикулярны, то есть $CB_1 \perp BC_1$.Ребро $C_1D_1$ перпендикулярно плоскости грани $BCC_1B_1$. Следовательно, $C_1D_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, включая $CB_1$. Таким образом, $C_1D_1 \perp CB_1$.Поскольку прямая $CB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC_1$ и $C_1D_1$) в плоскости $BC_1D_1$, то прямая $CB_1$ перпендикулярна всей плоскости $BC_1D_1$.Прямая $BD_1$ лежит в плоскости $BC_1D_1$, так как две ее точки, $B$ и $D_1$, принадлежат этой плоскости.Следовательно, $CB_1 \perp BD_1$.

Вывод.

Мы доказали, что прямая $BD_1$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $C$ прямым $AC$ и $CB_1$, которые лежат в плоскости $ACB_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD_1$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.