Номер 11.7, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11.7. При каком взаимном расположении двух прямых через одну из них можно провести плоскость, перпендикулярную другой прямой?

11.8. Определите вид треугольника, если через одну из его сторон

Пусть даны две прямые $a$ и $b$. Необходимо определить их взаимное расположение, при котором существует плоскость $\alpha$ такая, что она проходит через прямую $a$ и перпендикулярна прямой $b$.

1. Анализ условия (необходимость).
Предположим, что такая плоскость $\alpha$ существует. По условию задачи, прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), и плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $b$ ($\alpha \perp b$).
По определению перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то из этого следует, что прямая $b$ должна быть перпендикулярна прямой $a$.
Следовательно, необходимым условием является перпендикулярность прямых $a$ и $b$, то есть $a \perp b$.

2. Проверка условия (достаточность).
Теперь докажем, что это условие является и достаточным. Пусть прямые $a$ и $b$ перпендикулярны ($a \perp b$). Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$. В пространстве такое возможно в двух случаях:
• Прямые $a$ и $b$ пересекаются и перпендикулярны.
• Прямые $a$ и $b$ скрещиваются и перпендикулярны.
Нам нужно доказать, что в любом из этих случаев существует плоскость $\alpha$, удовлетворяющая условиям $a \subset \alpha$ и $\alpha \perp b$.
Построим такую плоскость. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Через точку $M$ проведем плоскость $\alpha$, перпендикулярную прямой $b$. Согласно теореме стереометрии, через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.
Теперь докажем, что прямая $a$ целиком лежит в построенной плоскости $\alpha$. Для этого достаточно показать, что одна точка прямой $a$ принадлежит плоскости $\alpha$, и направляющий вектор прямой $a$ перпендикулярен вектору нормали к плоскости $\alpha$.
• По построению, точка $M$ прямой $a$ лежит в плоскости $\alpha$.
• Вектор нормали к плоскости $\alpha$ по построению коллинеарен (параллелен) направляющему вектору прямой $b$. По нашему исходному условию, прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$, значит, их направляющие векторы ортогональны. Следовательно, направляющий вектор прямой $a$ перпендикулярен вектору нормали плоскости $\alpha$.
Оба условия выполнены, значит, прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Таким образом, мы доказали, что если прямые $a$ и $b$ перпендикулярны, то через прямую $a$ можно провести плоскость $\alpha$, перпендикулярную прямой $b$. Это доказательство справедливо как для пересекающихся, так и для скрещивающихся перпендикулярных прямых.

Ответ: Прямые должны быть перпендикулярны.